Дифференциальные уравнения. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21
Простой вещественный корень. Каждому простому корню (т.е. корню кратности 1) λ харак-
теристического многочлена соответствует решение вида
y = Ce
λx
, C ∈ R, (60)
двум различным корням λ
1
и λ
2
— решение
y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
, C
1
, C
2
∈ R,
и т.д. В частности, если характеристический многочлен имеет k различных вещественных корней,
то общее решение уравнения (57) имеет вид
y = C
1
e
λ
1
x
+ C
2
e
λ
2
x
+ ··· + C
k
e
λ
k
x
.
Пример 24. Рассмотрим уравнение
y
′′
−y = 0.
Его характеристический многочлен
P (λ) = λ
2
− 1
имеет два различных вещественных корня λ
1,2
= ±1. Значит, общее решение рассматриваемого
уравнения имеет вид
y = C
1
e
x
+ C
2
e
−x
.
Вещественный корень кратности m. Пусть λ — вещественный корень характеристического
многочлена кратности m > 0. Тогда этому корню соответствует m-мерное пространство решений
вида
y = (C
0
+ C
1
x + ··· + C
m−1
x
m−1
)e
λx
, C
0
, C
1
, . . . , C
m−1
∈ R. (61)
В частности, если λ = 0, то ему соответствуют решения
y = C
0
+ C
1
x + ··· + C
m−1
x
m−1
.
Очевидно, формула (58) является частным случаем равенства (61) при m = 0.
Пример 25. Характеристическим многочленом уравнения
y
′′′
− y
′′
− y
′
+ y = 0
является
P (λ) = λ
3
− λ
2
− λ + 1 = (λ − 1)
2
(λ + 1),
имеющий корень λ
1
= 1 кратности 2 и корень λ
2
= −1 кратности 1. Первому значению соответ-
ствует решение
y = (C
0
+ C
1
x)e
x
,
а второму — решение
y = C
2
e
−x
.
Значит, общее решение имеет вид
y = (C
0
+ C
1
x)e
x
+ C
2
e
−x
.
Простой комплексный корень. Пусть λ = p + iq — комплексный корень характеристического
многочлена кратности 1. Такому корню соответствует решение
y = e
p+iq
= e
px
(cos qx + i sin qx).
С другой стороны, поскольку P (λ) — многочлен с вещественными коэффициентами, число
¯
λ =
p − iq — тоже его корень и последнему соответствует решение
y = e
p−iq
= e
px
(cos qx − i sin qx).
Этой паре комплексных решений эквивалентным образом можно сопоставить пару действитель-
ных
y = e
px
sin qx, y
′
= e
px
cos qx,
                              ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                  21

Простой вещественный корень. Каждому простому корню (т.е. корню кратности 1) λ харак-
теристического многочлена соответствует решение вида
                                      y = Ceλx ,         C ∈ R,                         (60)
двум различным корням λ1 и λ2 — решение
                             y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x ,      C1 , C2 ∈ R,
и т.д. В частности, если характеристический многочлен имеет k различных вещественных корней,
то общее решение уравнения (57) имеет вид
                             y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x + · · · + Ck eλk x .
  Пример 24. Рассмотрим уравнение
                                            y ′′ − y = 0.
Его характеристический многочлен
                                          P (λ) = λ2 − 1
  имеет два различных вещественных корня λ1,2 = ±1. Значит, общее решение рассматриваемого
уравнения имеет вид
                                    y = C1 ex + C2 e−x .

Вещественный корень кратности m. Пусть λ — вещественный корень характеристического
многочлена кратности m > 0. Тогда этому корню соответствует m-мерное пространство решений
вида
                 y = (C0 + C1 x + · · · + Cm−1 xm−1 )eλx , C0 , C1 , . . . , Cm−1 ∈ R. (61)
В частности, если λ = 0, то ему соответствуют решения
                               y = C0 + C1 x + · · · + Cm−1 xm−1 .
Очевидно, формула (58) является частным случаем равенства (61) при m = 0.
  Пример 25. Характеристическим многочленом уравнения
                                      y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0
является
                          P (λ) = λ3 − λ2 − λ + 1 = (λ − 1)2 (λ + 1),
имеющий корень λ1 = 1 кратности 2 и корень λ2 = −1 кратности 1. Первому значению соответ-
ствует решение
                                      y = (C0 + C1 x)ex ,
а второму — решение
                                          y = C2 e−x .
Значит, общее решение имеет вид
                                   y = (C0 + C1 x)ex + C2 e−x .

Простой комплексный корень. Пусть λ = p + iq — комплексный корень характеристического
многочлена кратности 1. Такому корню соответствует решение
                               y = ep+iq = epx (cos qx + i sin qx).
С другой стороны, поскольку P (λ) — многочлен с вещественными коэффициентами, число λ̄ =
p − iq — тоже его корень и последнему соответствует решение
                               y = ep−iq = epx (cos qx − i sin qx).
Этой паре комплексных решений эквивалентным образом можно сопоставить пару действитель-
ных
                            y = epx sin qx, y ′ = epx cos qx,

Страницы