Дифференциальные уравнения. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

20 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это и есть искомые соотношения. В частности,
y
1
= y
2
0
+ r
0
,
y
2
=
y
3
0
+ y
0
r
0
+ r
1
2
,
y
3
=
2y
4
0
+ 3y
2
0
r
0
+ y
0
r
1
+ r
2
0
+ r
2
3
и т.д.
4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Линейное уравнение вида
a
n
y
(k)
+ a
k−1
y
(n−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = f (x) (55)
называется уравнением с постоянными коэффициентами, если все a
0
, . . . , a
n
являются константа-
ми. Если функция f , стоящая в правой части, тождественно равна нулю, то уравнение называется
однородным; в противном случае оно называется неоднородным.
Аналогичным образом можно определить систему линейных уравнений с постоянными коэф-
фициентами (см. ниже § 4.2). Мы опишем общий метод решения однородных уравнений и систем
такого вида, а также укажем, как их решать для некоторых правых частей специального вида.
4.1. Скалярные уравнения
4.1.1. Однородные уравнения
Пусть дано однородное уравнение вида (55) т.е. уравнение
a
n
y
(k)
+ a
n−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = 0. (56)
Если его порядок равен k, то a
n
6= 0 и, разделив на a
n
, можно всегда считать, что оно имеет вид
y
(k)
+ a
n−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = 0. (57)
Решение у равнения (57) ищут в виде
y = e
λx
. (58)
Поскольку в этом случае
y
′
= λe
λx
, y
′′
= λ
2
e
λx
, . . . , y
(n)
= λ
n
e
λx
,
то, подставляя функцию (58) в у равнение (57), получаем
(λ
n
+ a
n−1
λ
n−1
+ ··· + a
1
λ + a
0
)e
λx
= 0
и, т.к. e
λx
6= 0,
λ
n
+ a
n−1
λ
n−1
+ ··· + a
1
λ + a
0
= 0. (59)
Значит, справедливо
Предложение 5. Функция e
λx
тогда и только тогда является решением уравнения (57), ко-
гда λ является корнем уравнения (59).
Правая часть уравнения (59) называется характеристическим многочленом уравнения (57) и
обозначается через P (λ). Изучим, как корни характеристического многочлена определяют реше-
ния уравнения (56).
20                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Это и есть искомые соотношения. В частности,
                                    y1 = y02 + r0 ,
                                        y03 + y0 r0 + r1
                                    y2 =                 ,
                                               2
                                        2y 4 + 3y02 r0 + y0 r1 + r02 + r2
                                    y3 = 0
                                                        3
и т.д.


     4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
     Линейное уравнение вида
                            an y (k) + ak−1 y (n−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = f (x)         (55)
называется уравнением с постоянными коэффициентами, если все a0 , . . . , an являются константа-
ми. Если функция f , стоящая в правой части, тождественно равна нулю, то уравнение называется
однородным; в противном случае оно называется неоднородным.
  Аналогичным образом можно определить систему линейных уравнений с постоянными коэф-
фициентами (см. ниже § 4.2). Мы опишем общий метод решения однородных уравнений и систем
такого вида, а также укажем, как их решать для некоторых правых частей специального вида.


     4.1. Скалярные уравнения
     4.1.1. Однородные уравнения
     Пусть дано однородное уравнение вида (55) т.е. уравнение
                               an y (k) + an−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0.         (56)
Если его порядок равен k, то an 6= 0 и, разделив на an , можно всегда считать, что оно имеет вид
                                y (k) + an−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = 0.           (57)
Решение уравнения (57) ищут в виде
                                                      y = eλx .                             (58)
Поскольку в этом случае
                                y ′ = λeλx , y ′′ = λ2 eλx , . . . , y (n) = λn eλx ,
то, подставляя функцию (58) в уравнение (57), получаем
                                (λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 )eλx = 0
и, т.к. eλx 6= 0,
                                  λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.                   (59)
Значит, справедливо
  Предложение 5. Функция eλx тогда и только тогда является решением уравнения (57), ко-
гда λ является корнем уравнения (59).
  Правая часть уравнения (59) называется характеристическим многочленом уравнения (57) и
обозначается через P (λ). Изучим, как корни характеристического многочлена определяют реше-
ния уравнения (56).

Страницы