Дифференциальные уравнения. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

18 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поскольку разложение функции в степенной ряд единственно, из этого равенства вытекает бес-
конечная система уравнений
m · 2x
2
= −k · x
0
,
m · 6x
3
= −k · x
1
,
m · 12x
4
= −k · x
2
,
......................
m · (i + 2)(i + 1)x
i+2
= −k · x
i
,
......................
или
x
i+2
= −
k
m(i + 2)(i + 1)
x
i
, i = 0, 1, 2, . . .
Это уравнение выражает значение коэффициента x
i+2
через значения предыдущих
8
и, в конеч-
ном итоге, позволяет получить общую формулу. Действительно, для коэффициентов с чётными
номерами имеем
x
2
=
−
k
m
x
0
2!
,
x
4
=
−
k
m
2
x
0
4!
,
x
6
=
−
k
m
3
x
0
6!
,
......................
x
2i
=
−
k
m
i
x
0
2i!
......................
а для нечётных коэффициентов —
x
3
=
−
k
m
x
1
3!
,
x
5
=
−
k
m
2
x
1
5!
,
x
7
=
−
k
m
3
x
1
7!
,
......................
x
2i+1
=
−
k
m
i
x
1
(2i + 1)!
......................
Введём обозначения
λ =
r
k
m
, A = x
0
, B =
x
1
λ
.
Тогда, с учётом сказанного, разложение (51) перепишется в виде
x =
∞
X
i=0
x
i
t
i
=
∞
X
i=0
x
2i
t
2i
+
∞
X
i=0
x
2i+1
t
2i+1
= A
∞
X
i=0
(−1)
i
(λt)
2i
2i!
+ B
∞
X
i=0
(−1)
i
(λt)
2i+1
(2i + 1)!
.
Осталось заметить, что первое слагаемое в правой части есть ряд Тейлора функции cos λt, а
второе — функции sin λt. Итак, общее решение имеет вид
x = A cos
r
k
m
t + B sin
r
k
m
t,
8
Таки е уравнения, или соотношения, называются рекуррентными.
18                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Поскольку разложение функции в           степенной ряд единственно, из этого равенства вытекает бес-
конечная система уравнений
                           
                           
                                        m · 2x2 = −k · x0 ,
                           
                           
                           
                           
                                        m · 6x3 = −k · x1 ,
                           
                                        m · 12x4 = −k · x2 ,
                                    
                                    
                                        ......................
                                    
                                    
                                    
                                        m · (i + 2)(i + 1)xi+2 = −k · xi ,
                                    
                                    
                                         ......................
или
                                         k
                                xi+2 = −              xi ,      i = 0, 1, 2, . . .
                                 m(i + 2)(i + 1)
Это уравнение выражает значение коэффициента xi+2 через значения предыдущих8 и, в конеч-
ном итоге, позволяет получить общую формулу. Действительно, для коэффициентов с чётными
номерами имеем
                                                     k  x0
                                     x2 = −                 ,
                                                    m 2!
                                                     k 2 x0
                                     x4 = −                   ,
                                                    m 4!
                                                     k 3 x0
                                     x6 = −                   ,
                                                    m 6!
                                     ......................
                                                      k i x0
                                     x2i = −
                                                     m 2i!
                                     ......................
а для нечётных коэффициентов —
                                                           k  x1
                                           x3 = −                 ,
                                                          m 3!
                                                           k 2 x1
                                           x5 = −                   ,
                                                          m 5!
                                                           k 3 x1
                                           x7 = −                   ,
                                                          m 7!
                                           ......................
                                                               k i x1
                                           x2i+1 = −
                                                               m (2i + 1)!
                                           ......................
Введём обозначения                            r
                                         k                    x1
                                        λ= , A = x0 , B =        .
                                         m                    λ
Тогда, с учётом сказанного, разложение (51) перепишется в виде
              ∞         ∞           ∞                 ∞                 ∞
             X          X           X                 X       (λt)2i    X       (λt)2i+1
         x=     xi ti =   x2i t2i +   x2i+1 t2i+1 = A   (−1)i        +B   (−1)i           .
                                                               2i!              (2i + 1)!
                i=0       i=0           i=0                    i=0            i=0
Осталось заметить, что первое слагаемое в правой части есть ряд Тейлора функции cos λt, а
второе — функции sin λt. Итак, общее решение имеет вид
                                           r             r
                                             k             k
                                 x = A cos     t + B sin     t,
                                             m             m
     8Такие уравнения, или соотношения, называются рекуррентными.

Страницы