Дифференциальные уравнения. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

16 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где t время, R — сопротивление и L — самоиндукция (последние две величины постоянны). Общим
решением однородного уравнения является функция
i = ke
−
R
L
t
.
Методом варьирования постоянной получаем частное решение неоднородного уравнения в виде
e
−
R
L
t
L
Z
t
t
0
Ee
R
L
t
dt.
Поэтому общее решение уравнения (46) будет иметь вид
i =
1
L
Z
t
t
0
Ee
R
L
t
dt + k
e
−
R
L
t
, k = const. (47)
Рассмотрим два важных частных случая.
Постоянный ток. Пусть электродвижущая сила постоянна. Тогда решение (47) примет вид
i =
E
R
+ k
e
−
R
L
t
.
Если предположить, что в момент времени t = 0 ток в контуре был нулевым, то можно определить
значение постоянной k. Соответствующее решение будет иметь вид
i =
E
R
1 − e
−
R
L
t
.
Переменный ток. Пусть теперь электродвижущая сила изменяется по закону
E = E
0
sin ωt.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения имеет вид
LE
0
sin(ωt − δ)
√
R
2
+ ω
2
L
2
,
где δ = arctg
Lω
R
, и поэтому общим решением является функция
i = ke
−
R
L
t
+
LE
0
sin(ωt − δ)
√
R
2
+ ω
2
L
2
, k = const.
Пример 21 (уравнение Бернулли). Рассмотрим уравнение вида
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)y
n
. (48)
называемое уравнением Бернулли. При n = 0 оно является линейным неоднородным уравнением,
а при n = 1 — однородным. При всех остальных значениях n это уравнение не является линейным.
Однако его можно свести к таковому, если сделать замену
z = y
1−n
. (49)
Действительно, из (49) следует, что
dz
dx
= (1 − n)y
−n
dy
dx
. (50)
Поскольку уравнение (48) можно переписать в виде
7
y
−n
dy
dx
+ P y
1−n
= Q,
подстановка (49) и (50) в последнее уравнение даёт линейное уравнение на z:
dz
dx
+ (1 −n)P z = (1 − n)Q,
7
При этом мы можем потерять решение y = 0!
16                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

где t время, R — сопротивление и L — самоиндукция (последние две величины постоянны). Общим
решением однородного уравнения является функция
                                                           R
                                                  i = ke− L t .
Методом варьирования постоянной получаем частное решение неоднородного уравнения в виде
                                       R Z
                                    e− L t t     R
                                              Ee L t dt.
                                     L     t0
Поэтому общее решение уравнения (46) будет иметь вид
                           1 Z t    R
                                                R
                        i=        Ee L t dt + k e− L t ,          k = const.             (47)
                             L t0
Рассмотрим два важных частных случая.
Постоянный ток. Пусть электродвижущая сила постоянна. Тогда решение (47) примет вид
                                           E      R
                                     i=      + k e− L t .
                                           R
Если предположить, что в момент времени t = 0 ток в контуре был нулевым, то можно определить
значение постоянной k. Соответствующее решение будет иметь вид
                                          E         R 
                                     i=      1 − e− L t .
                                          R
Переменный ток. Пусть теперь электродвижущая сила изменяется по закону
                                              E = E0 sin ωt.
В этом случае частное решение неоднородного уравнения имеет вид
                                      LE0 sin(ωt − δ)
                                       √              ,
                                         R 2 + ω 2 L2
                Lω
где δ = arctg   R ,   и поэтому общим решением является функция
                                       R    LE0 sin(ωt − δ)
                               i = ke− L t + √              ,     k = const.
                                               R 2 + ω 2 L2

   Пример 21 (уравнение Бернулли). Рассмотрим уравнение вида
                                    dy
                                       + P (x)y = Q(x)y n .                              (48)
                                    dx
называемое уравнением Бернулли. При n = 0 оно является линейным неоднородным уравнением,
а при n = 1 — однородным. При всех остальных значениях n это уравнение не является линейным.
Однако его можно свести к таковому, если сделать замену
                                                  z = y 1−n .                            (49)
Действительно, из (49) следует, что
                                       dz                dy
                                           = (1 − n)y −n .                               (50)
                                       dx                dx
                                                      7
Поскольку уравнение (48) можно переписать в виде
                                           dy
                                      y −n    + P y 1−n = Q,
                                           dx
подстановка (49) и (50) в последнее уравнение даёт линейное уравнение на z:
                                   dz
                                      + (1 − n)P z = (1 − n)Q,
                                   dx
     7При этом мы можем потерять решение y = 0!

Страницы