Дифференциальные уравнения. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 15
Предложение 3. Пусть задано линейное уравнение вида (40). Тогда:
1) Если уравнение однородно и y
1
, y
2
— его решения, то функция α
1
y
1
+α
2
y
2
— также решения
для любых α
1
, α
2
∈ R;
2) если y
1
и y
2
— решения неоднородного уравнения, то их разность является решением соот-
ветствующего однородного уравнения;
3) любое решение неоднородного уравнения есть сумма некоторого его частного решения и
решения соответствующего однородного у равнения.
Свойство 1 называется принципом суперпозиции для решений линейных уравнений.
Покажем, как предложение 3 используется для решения линейных уравнений
A(x)y
′
+ B(x)y = C(x)
первого порядка. Разделив на A(x), приведём это уравнение к виду
y
′
+ P (x)y = Q(x). (42)
Тогда соответствующее однородное уравнение имеет вид
y
′
+ P (x)y = 0 (43)
и его общее решение выражается формулой
y = ke
−
R
x
x
0
P (x) dx
, k = const. (44)
В силу утверждения 3 предложения 3, общее решение уравнения (42) есть сумма решения (44)
и какого-нибудь частного решения. Чтобы найти последнее, используют так называемый метод
вариации произвольной постоянной. Он состоит в следующем.
Предположим, что в равенстве (44) величина k не является постоянной, а есть некоторая функ-
ция переменной x: k = k(x). Подставляя функцию
k(x)e
−
R
x
x
0
P (x) dx
в уравнение (42), получаем
k(x)e
−
R
x
x
0
P (x) dx
)
′
+ P (x)k(x)e
−
R
x
x
0
P (x) dx
= Q(x),
или
k
′
= Qe
R
x
x
0
P (x) dx
.
Отсюда следует, что в качестве k(x) можно взять функцию
Z
x
x
0
Qe
R
x
x
0
P (x) dx
dx
Таким образом, справедлив следующий результат
Предложение 4. Всякое решение уравнения (42) имеет вид
y = e
−
R
x
x
0
P (x) dx
Z
x
x
0
Qe
R
x
x
0
P (x) dx
dx
| {z }
частное решение неоднородного уравнения
+ ke
−
R
x
x
0
P (x) dx
| {z }
общее решение однородного уравнения
=
= e
−
R
x
x
0
P (x) dx
k +
Z
x
x
0
Qe
R
x
x
0
P (x) dx
, k = const. (45)
Рассмотрим примеры.
Пример 20 (сила тока в цепи). Из физики известно, что связь между силой тока i в цепи и
электродвижущей силой E определяется уравнением
L
di
dt
+ Ri = E, (46)
                                    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                                               15

  Предложение 3. Пусть задано линейное уравнение вида (40). Тогда:
   1) Если уравнение однородно и y1 , y2 — его решения, то функция α1 y1 +α2 y2 — также решения
      для любых α1 , α2 ∈ R;
   2) если y1 и y2 — решения неоднородного уравнения, то их разность является решением соот-
      ветствующего однородного уравнения;
   3) любое решение неоднородного уравнения есть сумма некоторого его частного решения и
      решения соответствующего однородного уравнения.
  Свойство 1 называется принципом суперпозиции для решений линейных уравнений.
  Покажем, как предложение 3 используется для решения линейных уравнений
                                          A(x)y ′ + B(x)y = C(x)
первого порядка. Разделив на A(x), приведём это уравнение к виду
                                              y ′ + P (x)y = Q(x).                                                         (42)
Тогда соответствующее однородное уравнение имеет вид
                                                y ′ + P (x)y = 0                                                           (43)
и его общее решение выражается формулой
                                                Rx
                                            −        P (x) dx
                                     y = ke     x0              ,        k = const.                                        (44)
В силу утверждения 3 предложения 3, общее решение уравнения (42) есть сумма решения (44)
и какого-нибудь частного решения. Чтобы найти последнее, используют так называемый метод
вариации произвольной постоянной. Он состоит в следующем.
  Предположим, что в равенстве (44) величина k не является постоянной, а есть некоторая функ-
ция переменной x: k = k(x). Подставляя функцию
                                                              Rx
                                                          −         P (x) dx
                                                k(x)e          x0


в уравнение (42), получаем
                                          
                              − x P (x) dx ′            − x P (x) dx
                               R                         R
                         k(x)e x0         ) + P (x)k(x)e x0          = Q(x),
или                                                           Rx
                                                ′                   P (x) dx
                                      k = Qe x0          .
Отсюда следует, что в качестве k(x) можно взять функцию
                                      Z x Rx
                                               P (x) dx
                                         Qe x0          dx
                                                x0
Таким образом, справедлив следующий результат
  Предложение 4. Всякое решение уравнения (42) имеет вид
                     Z x Rx
       − xx P (x) dx                                     − xx P (x) dx
        R                                                   R
                               P (x) dx
  y= e 0                 Qe x0          dx +           ke
                                                       |
                                                              0
                                                              {z     }           =
                      x0
      |                {z                }   общее решение однородного уравнения
      частное решение неоднородного уравнения
                                                          Rx                 Z   x    Rx                  
                                                      −        P (x) dx                         P (x) dx
                                                =e        x0
                                                                           k+         Qe   x0
                                                                                                            ,   k = const. (45)
                                                                               x0

  Рассмотрим примеры.
  Пример 20 (сила тока в цепи). Из физики известно, что связь между силой тока i в цепи и
электродвижущей силой E определяется уравнением
                                       di
                                     L + Ri = E,                                      (46)
                                       dt

Страницы