Дифференциальные уравнения. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 13
Пример 18. Рассмотрим более сложный пример:
Ry
′′
= −
p
1 + (y
′
)
2
3
, R = const.
После замены (33) получаем
dx = −
R dp
(1 + p
2
)
3
2
,
откуда
x − c
1
= −R
p
p
1 + p
2
.
Значит, теперь мы должны решить уравнение первого порядка
x − c
1
= −R
y
′
p
1 + (y
′
)
2
. (34)
Чтобы это сделать, введём параметр t и положим y
′
= tg t. Тогда из (34) следует, что
x − c
1
= −R
tg t
p
1 + tg
2
t
= −R sin t,
откуда получаем
dy = y
′
dx = tg t(−R cos t dt) = −R sin t dt.
Итак,
x − c
1
= −R sin t, y −c
2
= R cos t,
или
(x − c
1
)
2
+ (y −c
2
)
2
= R
2
.
Значит, интегральными кривыми рассматриваемого уравнения являются окружности радиуса R
с центрами в произвольной точке плоскости.
Рассмотрим ещё один тип уравнений, допускающих понижение порядка. Это уравнения вида
F (y, y
′
, y
′′
) = 0, (35)
не содержащие переменную x в явном виде. В этом случае тоже делается замена
p = y
′
, (36)
но вторая производная выражается через новую переменную по-другому:
y
′′
=
dy
′
dx
=
dy
′
dy
dy
dx
= p
dp
dy
. (37)
Таким образом, уравнение (35) приобретает вид
F
y, p, p
dp
dy
= 0
и его решают относительно неизвестной p, считая y независимой переменной.
Пример 19 (задача преследования). Предположим, что некоторая цель (заяц, самолёт) движет-
ся равномерно по оси x вправо с постоянной скоростью a и её преследует другой объект (волк,
ракета), движущийся с постоянной по величине скоростью v, направленной на преследуемого. По
какой траектории будет двигаться преследователь?
Если учесть, что скорость преследователя направлена по касательной к его траектории, то то
можно получить следующее уравнение движения
y
′′
=
a
v
·
(y
′
)
2
y
p
1 + (y
′
)
2
. (38)
Это у равнение имеет вид (35) и называется уравнением погони, а его интегральные кривые —
линиями погони.
                              ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                  13

  Пример 18. Рассмотрим более сложный пример:
                                   p           3
                          Ry ′′ = − 1 + (y ′ )2 ,                        R = const.
После замены (33) получаем
                                                        R dp
                                       dx = −                   3    ,
                                                    (1 + p2 ) 2
откуда
                                                p
                                  x − c1 = −R p       .
                                               1 + p2
Значит, теперь мы должны решить уравнение первого порядка
                                                 y′
                                  x − c1 = −R p            .                            (34)
                                               1 + (y ′ )2
Чтобы это сделать, введём параметр t и положим y ′ = tg t. Тогда из (34) следует, что
                                                 tg t
                              x − c1 = −R p               = −R sin t,
                                               1 + tg2 t
откуда получаем
                          dy = y ′ dx = tg t(−R cos t dt) = −R sin t dt.
Итак,
                             x − c1 = −R sin t, y − c2 = R cos t,
или
                                   (x − c1 )2 + (y − c2 )2 = R2 .
Значит, интегральными кривыми рассматриваемого уравнения являются окружности радиуса R
с центрами в произвольной точке плоскости.
  Рассмотрим ещё один тип уравнений, допускающих понижение порядка. Это уравнения вида
                                           F (y, y ′ , y ′′ ) = 0,                      (35)
не содержащие переменную x в явном виде. В этом случае тоже делается замена
                                                 p = y′,                                (36)
но вторая производная выражается через новую переменную по-другому:
                                           dy ′   dy ′ dy   dp
                                  y ′′ =        =         =p .                          (37)
                                           dx     dy dx     dy
Таким образом, уравнение (35) приобретает вид
                                              dp 
                                       F y, p, p   =0
                                              dy
и его решают относительно неизвестной p, считая y независимой переменной.
  Пример 19 (задача преследования). Предположим, что некоторая цель (заяц, самолёт) движет-
ся равномерно по оси x вправо с постоянной скоростью a и её преследует другой объект (волк,
ракета), движущийся с постоянной по величине скоростью v, направленной на преследуемого. По
какой траектории будет двигаться преследователь?
  Если учесть, что скорость преследователя направлена по касательной к его траектории, то то
можно получить следующее уравнение движения
                                         a (y ′ )2 p
                                   y ′′ = ·          1 + (y ′ )2 .                      (38)
                                         v   y
Это уравнение имеет вид (35) и называется уравнением погони, а его интегральные кривые —
линиями погони.

Страницы