Дифференциальные уравнения. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Делая замену (31), мы приходим к уравнению
xu
′
+ u =
√
1 + u
2
− 1
u
.
Чтобы его проинтегрировать, введём новую переменную w =
√
1 + u
2
. Тогда уравнение примет
вид
dw
1 − w
=
dx
x
.
Значит,
x(w − 1) = c, c = const,
или
p
1 + u
2
=
c
x
+ 1.
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем
y
2
= c(2x + c).
Это — семейство парабол с общим фокусом в начале координат, и в этом фокусе собираются лучи,
отражённые зеркалом.
3.4. Уравнения, допускающие понижение порядка
Стандартный способ понизить порядок уравнения — это ввести новую переменную p = y
′
. Во-
обще говоря, после такой замены мы получим систему дифференциальных уравнений, решать
которую нисколько не легче исходного уравнения, однако в некоторых специальных случаях за-
дача упрощается. Рассмотрим уравнение второго порядка
F (x, y
′
, y
′′
) = 0, (32)
не зависящее явно от неизвестной функции y. Замена
p = y
′
(33)
сводит его к скалярному уравнению первого порядка
F (x, p, p
′
) = 0.
Решая это уравнение, мы найдём выражение для первой производной функции y и, проинтегри-
ровав, саму функцию.
Пример 17. Рассмотрим уравнение
y
′′
+ (y
′
)
2
= 0.
Тогда после замены (33) получаем
p
′
+ p
2
= 0,
или
dp
p
2
+ dx = 0.
Следовательно,
1
z
= x + c
1
,
т.е.
y
′
=
1
x + c
1
и
y = ln|x + c
1
| + c
2
, c
1
, c
2
= const.
Кроме того, есть также решение y = const, потерянное при делении на p
2
.
12                             ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Делая замену (31), мы приходим к уравнению
                                             √
                                       ′      1 + u2 − 1
                                    xu + u =             .
                                                 u
                                                                     √
Чтобы его проинтегрировать, введём новую переменную w =                  1 + u2 . Тогда уравнение примет
вид
                                         dw     dx
                                              =    .
                                       1−w       x
Значит,
                                x(w − 1) = c,    c = const,
или                                    p                  c
                                            1 + u2 =        + 1.
                                                          x
Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем
                                           y 2 = c(2x + c).
Это — семейство парабол с общим фокусом в начале координат, и в этом фокусе собираются лучи,
отражённые зеркалом.

     3.4. Уравнения, допускающие понижение порядка
  Стандартный способ понизить порядок уравнения — это ввести новую переменную p = y ′ . Во-
обще говоря, после такой замены мы получим систему дифференциальных уравнений, решать
которую нисколько не легче исходного уравнения, однако в некоторых специальных случаях за-
дача упрощается. Рассмотрим уравнение второго порядка
                                           F (x, y ′ , y ′′ ) = 0,                                  (32)
не зависящее явно от неизвестной функции y. Замена
                                                  p = y′                                            (33)
сводит его к скалярному уравнению первого порядка
                                           F (x, p, p′ ) = 0.
Решая это уравнение, мы найдём выражение для первой производной функции y и, проинтегри-
ровав, саму функцию.
     Пример 17. Рассмотрим уравнение
                                           y ′′ + (y ′ )2 = 0.
Тогда после замены (33) получаем
                                              p′ + p2 = 0,
или
                                             dp
                                                + dx = 0.
                                             p2
Следовательно,
                                              1
                                                = x + c1 ,
                                              z
т.е.
                                                       1
                                              y′ =
                                                     x + c1
и
                            y = ln|x + c1 | + c2 , c1 , c2 = const.
Кроме того, есть также решение y = const, потерянное при делении на p2 .

Страницы