Дифференциальные уравнения. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Замечание 9 (интегрирующий множитель). В принципе, любое дифференциальное уравнение
вида
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
можно преобразовать к уравнению в полных дифференциалах. Именно, домножим это уравнение
на некоторую функцию µ = µ(x, y) и потребуем, чтобы выполнилось условие
∂(µP )
∂y
=
∂(µQ)
∂x
(27)
или
Q
∂µ
∂x
− P
∂µ
∂y
+ µ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
.
Это уравнение в частных производных относительно неизвестной функции µ, и оно всегда имеет
локальное (т.е. в некоторой окрестности) решение. Значит, уравнение
µP (x, y) dx + µQ(x, y) dy = 0,
эквивалентное исходному, является уравнением в полных дифференциалах. Функция µ, удовле-
творяющая условию (27), называется интегрирующим множителем.
Пример 14. Рассмотрим уравнение
y
′
+
y
2
+ xy + 1
x
2
+ xy + 1
и приведём его к виду
(x
2
+ xy + 1) dy + (y
2
+ xy + 1) dx. (28)
Поскольку
∂
∂x
((x
2
+ xy + 1) = 2x + y,
∂
∂y
(y
2
+ xy + 1) = 2y + 1,
оно не является уравнением в полных дифференциалах. Однако, разделив обе части (28) на x +y,
получаем
x +
1
x + y
dy +
y +
1
x + y
dx, (29)
и, как нетрудно заметить,
x +
1
x + y
=
∂
∂y
(xy + ln|x + y|), y +
1
x + y
=
∂
∂x
(xy + ln|x + y|).
Поэтому выражение (28) является полным дифференциалом, и мы получаем семейство решений
xy + ln|x + y| = c, c = const,
или
x + y = ke
−xy
, k = const.
3.3. Однородные уравнения
Уравнение вида
y
′
= f (x, y) (30)
называется однородным, если для любого α ∈ R выполнено равенство
f(αx, αy) = f (x, y).
Стандартный метод решения однородных уравнений — замена переменных
u =
y
x
. (31)
Действительно, в силу однородности имеем
f(x, y) = f (1,
y
x
).
10                             ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  Замечание 9 (интегрирующий множитель). В принципе, любое дифференциальное уравнение
вида
                                 P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
можно преобразовать к уравнению в полных дифференциалах. Именно, домножим это уравнение
на некоторую функцию µ = µ(x, y) и потребуем, чтобы выполнилось условие
                                         ∂(µP )   ∂(µQ)
                                                =                                        (27)
                                           ∂y       ∂x
или                                               ∂Q ∂P 
                                   ∂µ     ∂µ
                                Q     −P      +µ      −      .
                                   ∂x      ∂y      ∂x   ∂y
Это уравнение в частных производных относительно неизвестной функции µ, и оно всегда имеет
локальное (т.е. в некоторой окрестности) решение. Значит, уравнение
                                µP (x, y) dx + µQ(x, y) dy = 0,
эквивалентное исходному, является уравнением в полных дифференциалах. Функция µ, удовле-
творяющая условию (27), называется интегрирующим множителем.
     Пример 14. Рассмотрим уравнение
                                               y 2 + xy + 1
                                        y′ +
                                               x2 + xy + 1
и приведём его к виду
                              (x2 + xy + 1) dy + (y 2 + xy + 1) dx.                      (28)
Поскольку
                      ∂                             ∂ 2
                        ((x2 + xy + 1) = 2x + y,      (y + xy + 1) = 2y + 1,
                     ∂x                            ∂y
оно не является уравнением в полных дифференциалах. Однако, разделив обе части (28) на x + y,
получаем
                                         1              1 
                                  x+         dy + y +        dx,                        (29)
                                      x+y              x+y
и, как нетрудно заметить,
                      1      ∂                          1      ∂
                x+        =     (xy + ln|x + y|), y +       =    (xy + ln|x + y|).
                    x+y      ∂y                        x+y    ∂x
Поэтому выражение (28) является полным дифференциалом, и мы получаем семейство решений
                               xy + ln|x + y| = c,       c = const,
или
                                 x + y = ke−xy ,       k = const.

     3.3. Однородные уравнения
     Уравнение вида
                                        y ′ = f (x, y)                                   (30)
называется однородным, если для любого α ∈ R выполнено равенство
                                       f (αx, αy) = f (x, y).
Стандартный метод решения однородных уравнений — замена переменных
                                                y
                                            u= .                                         (31)
                                                x
Действительно, в силу однородности имеем
                                                     y
                                     f (x, y) = f (1, ).
                                                     x

Страницы