Дифференциальные уравнения. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Поэтому общим решением этого уравнения будет
Z
y
y
0
dy
g(y)
=
Z
x
x
0
f(x) dx,
или
G(y) = F (x) + c, (15)
где G(y) где F (x) — какие-нибудь первообразные функций
1
g
и f соответственно, а c — произ-
вольная константа.
Заметим, что равенство (15) задаёт величину y как неявную функцию переменной x. Кроме
того, деля на g(y), мы можем потерять некоторые частные решения, а именно, реш ения вида y = a,
где постоянная a удовлетворяет уравнению g(a) = 0.
Пример 10. Рассмотрим уравнение
y
′
= (y
2
− 1)x, (16)
или
y
′
y
2
− 1
= x.
Приводя его к виду (14), получаем
1
y − 1
−
1
y + 1
dy = 2 dx. (17)
Значит,
ln
y − 1
y + 1
= x
2
+ c, c = const,
т.е.
y =
1 + ke
x
2
1 −ke
x
2
, k = const. (18)
Выполняя деление на y
2
− 1, мы могли потерять решения y = ±1. Решение y = 1 получается
из (18) при k = 0, а решение y = −1 действительно потеряно.
Итак, все решения уравнения (16) состоят из функций вида (18), а также из постоянного ре-
шения y = −1.
Пример 11. Рассмотрим уравнение
y
′
= x
3
p
1 − y
2
. (19)
Оно приводится к виду
dy
p
1 − y
2
= x
3
dx,
и, значит,
arcsin y =
1
4
x
4
+ c, c = const.
Таким образом, общее решение уравнения (19) имеет вид
y = sin
1
4
x
4
+ c,
,
а двумя потерянными при делении частными решениями являются y = ±1.
8                              ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Поэтому общим решением этого уравнения будет
                                 Z y        Z x
                                      dy
                                          =     f (x) dx,
                                  y0 g(y)    x0

или
                                          G(y) = F (x) + c,                               (15)
где G(y) где F (x) — какие-нибудь первообразные функций g1 и f соответственно, а c — произ-
вольная константа.
  Заметим, что равенство (15) задаёт величину y как неявную функцию переменной x. Кроме
того, деля на g(y), мы можем потерять некоторые частные решения, а именно, решения вида y = a,
где постоянная a удовлетворяет уравнению g(a) = 0.

    Пример 10. Рассмотрим уравнение

                                           y ′ = (y 2 − 1)x,                              (16)

или
                                                y′
                                                     = x.
                                              y2 − 1
Приводя его к виду (14), получаем
                                     1   1 
                                        −     dy = 2 dx.                                  (17)
                                     y−1 y+1
Значит,
                                    y−1
                               ln       = x2 + c,                c = const,
                                    y+1
т.е.
                                                   2
                                         1 + kex
                                    y=            ,          k = const.                   (18)
                                         1 − kex2
Выполняя деление на y 2 − 1, мы могли потерять решения y = ±1. Решение y = 1 получается
из (18) при k = 0, а решение y = −1 действительно потеряно.
  Итак, все решения уравнения (16) состоят из функций вида (18), а также из постоянного ре-
шения y = −1.

    Пример 11. Рассмотрим уравнение
                                                       p
                                          y ′ = x3         1 − y2.                        (19)

Оно приводится к виду
                                              dy
                                          p             = x3 dx,
                                              1−   y2
и, значит,
                                       1 4
                               arcsin y =x + c,    c = const.
                                       4
Таким образом, общее решение уравнения (19) имеет вид
                                                       1 4     
                                         y = sin         x + c, ,
                                                       4
а двумя потерянными при делении частными решениями являются y = ±1.

Страницы