Дифференциальные уравнения. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
плоскости в себя, обладающее следующими замечательными свойствами:
F
0
= id, F
t
1
+t
2
= F
t
1
◦ F
t
2
.
Семейство преобразований {F
t
} называется потоком (или однопараметрической группой преоб-
разований) векторного поля v. Оно показывает, как плоскость «движется» под воздействием этого
поля.
Например, если плоскость заполнена жидкостью и (v
1
, v
2
) — скорость частицы в соответству-
ющей точке, то {F
t
} описывает течение, а траектории говорят о форме потока
3
.
Рассмотрим в качестве примера векторное поле
v = −x
2
∂
∂x
1
+ x
1
∂
∂x
2
.
Его траекториями являются окружности
x
1
= R cos t, x
2
= R sin t,
а однопараметрическая группа преобразований состоит из матриц
sin t −cos t
cos t sin t
,
т.е. является поворотами плоскости на угол t (за время t) вокруг начала координат.
Замечание 7 (ломаные Эйлера). Вернёмся к теореме 1 и подчеркнём (хотя мы и не доказывали
её), что классическое доказательство не просто констатирует существование решения задачи
Коши, а содержит в себе метод приближённого построения последнего
4
. Проиллюстрируем этот
метод на примере скалярного у равнения первого порядка
y
′
= f(x, y) (12)
с начальными данными c
10
= y
0
в точке x = x
0
.
Предположим, что мы хотим построить решение уравнения (12) на отрезке [x
0
, x
1
]. Разобьём
этот отрезок на n равных частей и положим
h =
x
1
− x
0
n
.
Тогда, пользуясь тем, что значение первой производной функции равно тангенсу угла наклона
касательной к графику в рассматриваемой точке, мы можем приблизительно оценить значение
неизвестной функции в узловых точках
x
0
+ h, x
0
+ 2h, . . . , x
0
+ ih, . . . , x
0
+ nh = x
1
,
полагая
˜y
1
= ˜y(x
0
+ h) = y
0
+ f (x
0
, y
0
)h,
˜y
2
= ˜y(x
0
+ 2h) = ˜y
1
+ f (x
0
+ h, ˜y
1
)h,
˜y
3
= ˜y(x
0
+ 3h) = ˜y
2
+ f (x
0
+ 2h, ˜y
2
)h,
................. (13)
˜y
i+1
= ˜y(x
0
+ (i + 1)h) = ˜y
i
+ f (x
0
+ ih, ˜y
i
)h
.................
Соединив точки (x
0
+ ih, ˜y
i
) отрезками прямых, мы получим график приближённого решения,
называемый ломаной Эйлера. Оказывается, если выполняются условия теоремы 1, то при стрем-
лении n к ∞ (т.е. при h → 0) ломаные Эйлера стремятся к точному решению уравнения (12) с
указанными выше начальными данными.
3
Такая модель — очень грубое приближение к описанию жидкостей, но в некоторых задачах ею можно пользо-
ваться для качественной оценки поведения жидкостей.
4
Такие доказательства называются в математике конструктивными.
6                                     ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

плоскости в себя, обладающее следующими замечательными свойствами:
                                           F0 = id,     Ft1 +t2 = Ft1 ◦ Ft2 .
Семейство преобразований {Ft } называется потоком (или однопараметрической группой преоб-
разований) векторного поля v. Оно показывает, как плоскость «движется» под воздействием этого
поля.
  Например, если плоскость заполнена жидкостью и (v1 , v2 ) — скорость частицы в соответству-
ющей точке, то {Ft } описывает течение, а траектории говорят о форме потока3.
  Рассмотрим в качестве примера векторное поле
                                              ∂        ∂
                                    v = −x2      + x1     .
                                             ∂x1      ∂x2
Его траекториями являются окружности
                                            x1 = R cos t,     x2 = R sin t,
а однопараметрическая группа преобразований состоит из матриц
                                                    
                                       sin t − cos t
                                                       ,
                                       cos t sin t
т.е. является поворотами плоскости на угол t (за время t) вокруг начала координат.
   Замечание 7 (ломаные Эйлера). Вернёмся к теореме 1 и подчеркнём (хотя мы и не доказывали
её), что классическое доказательство не просто констатирует существование решения задачи
Коши, а содержит в себе метод приближённого построения последнего4. Проиллюстрируем этот
метод на примере скалярного уравнения первого порядка
                                                      y ′ = f (x, y)                                 (12)
с начальными данными c10 = y0 в точке x = x0 .
   Предположим, что мы хотим построить решение уравнения (12) на отрезке [x0 , x1 ]. Разобьём
этот отрезок на n равных частей и положим
                                            x1 − x0
                                        h=          .
                                               n
Тогда, пользуясь тем, что значение первой производной функции равно тангенсу угла наклона
касательной к графику в рассматриваемой точке, мы можем приблизительно оценить значение
неизвестной функции в узловых точках
                             x0 + h, x0 + 2h, . . . , x0 + ih, . . . , x0 + nh = x1 ,
полагая
                              ỹ1 = ỹ(x0 + h) = y0 + f (x0 , y0 )h,
                              ỹ2 = ỹ(x0 + 2h) = ỹ1 + f (x0 + h, ỹ1 )h,
                              ỹ3 = ỹ(x0 + 3h) = ỹ2 + f (x0 + 2h, ỹ2 )h,
                              .................                                                      (13)
                              ỹi+1 = ỹ(x0 + (i + 1)h) = ỹi + f (x0 + ih, ỹi )h
                              .................
Соединив точки (x0 + ih, ỹi ) отрезками прямых, мы получим график приближённого решения,
называемый ломаной Эйлера. Оказывается, если выполняются условия теоремы 1, то при стрем-
лении n к ∞ (т.е. при h → 0) ломаные Эйлера стремятся к точному решению уравнения (12) с
указанными выше начальными данными.
    3Такая модель — очень грубое приближение к описанию жидкостей, но в некоторых задачах ею можно пользо-
ваться для качественной оценки поведения жидкостей.
   4Такие доказательства называются в математике конструктивными.

Страницы