Дифференциальные уравнения. - 5 стр.

                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                            5

Возвращаясь к исходным обозначениям, мы получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений
                    (k)                                                   (k−1)            (k−1)
                                                   ′          ′
                   y1 = f1 (x, y1 , . . . , yn , y1 . . . , yn , . . . , y1
                                                                                , . . . , yn     ),
                    .............                                                                    (10)
                   
                    (k)                                                   (k−1)            (k−1)
                                                   ′          ′
                    yn = fn (x, y1 , . . . , yn , y1 . . . , yn , . . . , y1     , . . . , yn     ),
разрешённую относительно старших производных.
  Теперь мы можем сформулировать важнейший результат теории обыкновенных дифференци-
альных уравнений.
  Теорема 1 (теорема существования и единственности). Пусть задана система (10) обыкно-
венных дифференциальных уравнений, разрешённая относительно старших производных. Пусть
функции f1 , . . . , fn , стоящие в правой части
    1) непрерывны по всем аргументам,
    2) обладают всеми производными по переменным pij , i = 1, . . . , n, j = 0, . . . , k − 1, и эти
       производные непрерывны.
Тогда для любых начальных данных (8) в некоторой окрестности (x0 −ε, x0 +ε) существует и един-
ственным образом определено решение y = (y1 , . . . , yn ), удовлетворяющее этим данным, т.е. такое,
что
                             di y
                                      = ci,j+1 , i = 1, . . . , n, j = 0, . . . , k − 1.
                             dxi x=x0
  Замечание 6. Теорема не гарантирует существование глобального решения на всей прямой,
поскольку окрестность (x0 − ε, x0 + ε), в которой решение существует, зависит от точки x0 . На-
пример, решая уравнение
                                           y′ = 1 + y2
с начальными данными y(0) = 0, мы приходим к решению y = tg x, которое не определено в
точках x = πk.
  Пример 8. Приведём пример, когда условие теоремы не выполнены и вследствие этого нару-
шается единственность. Рассмотрим уравнение
                                                yy ′ = 1.
Оно разрешимо относительно старшей производной всюду, кроме тех точек, где y = 0. Его реше-
ниями являются параболы
                                            1√
                                       y=±      x − x0 ,
                                            2
и начальным данным (x0 , 0) соответствуют два решения.
   Пример 9 (траектории векторных полей). Пусть на плоскости задано поле скоростей v =
(v1 , v2 ) (см. пример 2)2 Его траектории — это решения системы дифференциальных уравнений
                                        (
                                          dx1
                                           dt = v1 (x1 , x2 ),                         (11)
                                          dx2
                                           dt = v2 (x1 , x2 ).

Пусть эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности (теорема 1).
Тогда через любую точку (x1 , x2 ) плоскости R2 проходит единственная кривая (решение уравне-
ния (11))
                                        x1 = x1 (t), x2 = x2 (t),
такая, что x1 (0) = x1 и x2 (0) = x2 . Поэтому для каждого t ∈ R определено отображение
                             Ft : R2 → R2 ,     Ft (x1 , x2 ) = (x1 (t), x2 (t)),
  2Или, что то же самое, векторное поле v ∂ + v ∂ .
                                         1 ∂x  2 ∂x
                                           1      2