Дифференциальные уравнения. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 7
В случае системы дифференциальных уравнений первого порядка
y
′
1
= f
1
(x, y
1
, . . . , y
n
),
....................
y
′
n
= f
n
(x, y
1
, . . . , y
n
)
ломаные Эйлера строятся практически точно также: вместо (13) нужно рассмотреть равенства
....................
˜y
1
(x
0
+ (i + 1)h) = (˜y
1
)
i
+ f
1
(x
0
+ ih, (˜y
1
)
i
, . . . , (˜y
n
)
i
),
....................
˜y
n
(x
0
+ (i + 1)h) = (˜y
1
)
i
+ f
n
(x
0
+ ih, (˜y
n
)
i
, . . . , (˜y
n
)
i
),
....................
Замечание 8. Если задана система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка k,
то простой заменой переменных её можно превратить в систему первого порядка. Например,
уравнение второго порядка
y
′′
= f(x, y, y
′
)
заменой переменных y
1
= y, y
2
= y
′
превращается в систему
(
y
′
1
= y
2
,
y
′
2
= f(x, y
1
, y
2
),
уравнение третьего порядка
y
′′′
= f(x, y, y
′
, y
′′
)
заменой переменных y
1
= y, y
2
= y
′
, y
3
= y
′′
— в систему
y
′
1
= y
2
,
y
′
2
= y
3
,
y
′
3
= f(x, y
1
, y
2
, y
3
)
и т.д.
3. Некоторые классы интегрируемых уравнений
Теорема существования и единственности указывает, как с помощью последовательных аппрок-
симаций искать приближённое решение задачи Коши, однако ничего не говорит о построении
точных решений. Следует отметить, что для большинства дифференциальных уравнений такое
решение в принципе нельзя построить. Однако для некоторых классов удаётся выписать общий
вид решения. Простейшее уравнение такого вида — это y
′
= f(x), рассмотренное в примере 1.
Опишем более сложные случаи.
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение вида
y
′
= f(x)g(y)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Деля обе его части на g(y), мы приходим
к уравнению
y
′
g(y)
= f(x),
или
dy
g(y)
= f(x) dx. (14)
                                           ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                  7

  В случае системы дифференциальных уравнений первого порядка
                               
                                   ′
                               y1 = f1 (x, y1 , . . . , yn ),
                               
                                 ....................
                               
                                ′
                                 yn = fn (x, y1 , . . . , yn )
ломаные Эйлера строятся практически точно также: вместо (13) нужно рассмотреть равенства
                           ....................
                           ỹ1 (x0 + (i + 1)h) = (ỹ1 )i + f1 (x0 + ih, (ỹ1 )i , . . . , (ỹn )i ),
                           ....................
                           ỹn (x0 + (i + 1)h) = (ỹ1 )i + fn (x0 + ih, (ỹn )i , . . . , (ỹn )i ),
                           ....................
  Замечание 8. Если задана система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка k,
то простой заменой переменных её можно превратить в систему первого порядка. Например,
уравнение второго порядка
                                          y ′′ = f (x, y, y ′ )
заменой переменных y1 = y, y2 = y ′ превращается в систему
                                      (
                                        y1′ = y2 ,
                                        y2′ = f (x, y1 , y2 ),
уравнение третьего порядка
                                         y ′′′ = f (x, y, y ′ , y ′′ )
заменой переменных y1 = y, y2 = y ′ , y3 = y ′′ — в систему
                                       
                                           ′
                                       y 1 = y 2 ,
                                       
                                         y2′ = y3 ,
                                       
                                        ′
                                         y3 = f (x, y1 , y2 , y3 )
и т.д.


  3. Некоторые классы интегрируемых уравнений
  Теорема существования и единственности указывает, как с помощью последовательных аппрок-
симаций искать приближённое решение задачи Коши, однако ничего не говорит о построении
точных решений. Следует отметить, что для большинства дифференциальных уравнений такое
решение в принципе нельзя построить. Однако для некоторых классов удаётся выписать общий
вид решения. Простейшее уравнение такого вида — это y ′ = f (x), рассмотренное в примере 1.
Опишем более сложные случаи.

  3.1. Уравнения с разделяющимися переменными
  Уравнение вида
                                      y ′ = f (x)g(y)
называется уравнением с разделяющимися переменными. Деля обе его части на g(y), мы приходим
к уравнению
                                         y′
                                             = f (x),
                                       g(y)
или
                                      dy
                                            = f (x) dx.                                 (14)
                                     g(y)

Страницы