Дифференциальные уравнения. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9
3.2. Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение приводящееся к виду
P (x, y) dx + Q(x, y) dy, (20)
где выражение P (x, y) dx + Q(x, y) dy является дифференциалом некоторой функции F (x, y), на-
зывается уравнением в полных дифференциалах. Это означает, что выполняются равенства
P =
∂F
∂x
, Q =
∂F
∂y
. (21)
Функция F называется потенциалом формы P (x, y) dx + Q(x, y) dy.
Предложение 1. Выражение (20) является полным дифференциалом тогда и только тогда ,
когда
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
. (22)
Если удаётся найти потенциал F , то общее решение уравнения в полных дифференциалах
задаётся неявно в виде
F (x, y) = c, c = const. (23)
Пример 12. Рассмотрим уравнение
y
′
+
αx + βy
γx + δy
= 0, α, β, γ, δ = const, αδ − βγ 6= 0, (24)
и перепишем его в виде
(αx + βy) dx + (γx + δy) dy = 0. (25)
В силу условия (22), уравнение (24) является уравнением в полных дифференциалах тогда и
только тогда, когда β = γ, т.е. имеет вид
y
′
+
ax + by
bx + cy
, a, b, c = const, ac 6= b
2
. (26)
В этом случае легко найти потенциал формы (25): он имеет вид
F (x, y) =
1
2
(ax
2
+ 2bxy + cy
2
).
Поэтому решения уравнения (26) записываются в неявном виде
ax
2
+ 2bx + cy
2
= d, d = const.
Вспоминая классификацию плоских кривых второго порядка, мы получаем следующий результат:
Предложение 2. Графики решений уравнения (26) имеют вид
1) семейства эллипсов при ac − b
2
> 0 (включая вырожденный эллипс при d = 0),
2) семейства гипербол при ac − b
2
< 0 (включая пару пересекающихся прямых при d = 0).
Пример 13. Аналогично предыдущему примеру, уравнение
y
′
+
ax
2
+ 2bxy + cy
2
bx
2
+ 2cxy + dy
2
= 0
приводится к у равнению в полных дифференциалах, и его решения задаются неявно в виде
ax
3
+ 3bx
2
y + 3cxy
2
+ dy
3
= const.
                                    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                               9

  3.2. Уравнения в полных дифференциалах
  Уравнение приводящееся к виду
                                         P (x, y) dx + Q(x, y) dy,                        (20)
где выражение P (x, y) dx + Q(x, y) dy является дифференциалом некоторой функции F (x, y), на-
зывается уравнением в полных дифференциалах. Это означает, что выполняются равенства
                                                  ∂F          ∂F
                                          P =        ,   Q=      .                        (21)
                                                  ∂x          ∂y
Функция F называется потенциалом формы P (x, y) dx + Q(x, y) dy.

  Предложение 1. Выражение (20) является полным дифференциалом тогда и только тогда,
когда
                                    ∂Q    ∂P
                                        =     .                                 (22)
                                    ∂x     ∂y
  Если удаётся найти потенциал F , то общее решение уравнения в полных дифференциалах
задаётся неявно в виде
                                       F (x, y) = c,       c = const.                     (23)

  Пример 12. Рассмотрим уравнение
                            αx + βy
                     y′ +           = 0,          α, β, γ, δ = const,    αδ − βγ 6= 0,    (24)
                            γx + δy
и перепишем его в виде
                                    (αx + βy) dx + (γx + δy) dy = 0.                      (25)
В силу условия (22), уравнение (24) является уравнением в полных дифференциалах тогда и
только тогда, когда β = γ, т.е. имеет вид
                                    ax + by
                             y′ +           ,       a, b, c = const,    ac 6= b2 .        (26)
                                    bx + cy
В этом случае легко найти потенциал формы (25): он имеет вид
                                                  1
                                     F (x, y) =     (ax2 + 2bxy + cy 2 ).
                                                  2
Поэтому решения уравнения (26) записываются в неявном виде
                                ax2 + 2bx + cy 2 = d,           d = const.
Вспоминая классификацию плоских кривых второго порядка, мы получаем следующий результат:

  Предложение 2. Графики решений уравнения (26) имеют вид
   1) семейства эллипсов при ac − b2 > 0 (включая вырожденный эллипс при d = 0),
   2) семейства гипербол при ac − b2 < 0 (включая пару пересекающихся прямых при d = 0).

  Пример 13. Аналогично предыдущему примеру, уравнение
                                              ax2 + 2bxy + cy 2
                                       y′ +                     =0
                                              bx2 + 2cxy + dy 2
приводится к уравнению в полных дифференциалах, и его решения задаются неявно в виде
                                ax3 + 3bx2 y + 3cxy 2 + dy 3 = const.

Страницы