Дифференциальные уравнения. - 11 стр.

                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                             11

С другой стороны, из (31) следует, что
                                              y ′ = xu′ + u,
и (30) приводится к виду
                                           xu′ + u = ϕ(u),
где ϕ(u) = f (1, u). Последнее уравнение легко интегрируется:
                                        Z u
                                               du
                                F (u) =              = ln|x| + const.
                                         u0 ϕ(u) − u

Заменяя в функции F (u) переменную u на xy , получаем общее решение уравнения (30).
  Замечание 10. Случай ϕ(u) = u рассматривается отдельно и не вызывает затруднений.
   Пример 15. Вернёмся к уравнению
                                     αx + βy
                                y′ +          ,     αδ − βγ 6= 0,
                                     γx + δy
из примера 12. Оно является однородным, и теперь мы можем проинтегрировать его без допол-
нительных ограничений на коэффициенты. После подстановки имеем
                                                  α + βu
                                       xu′ + u +         ,
                                                  γ + δu
или
                                      δu + γ              dx
                                  2
                                                    du +     = 0.
                                δu + (β + γ)u + α          x
Первое слагаемое в этом выражении интегрируется стандартными методами интегрирования ра-
циональных дробей, и результат, разумеется, зависит от коэффициентов α, β, γ и δ. Например,
для уравнения
                                                x−y
                                           y′ +
                                                x+y
получаем
                                       u+1         dx
                                       2
                                              du +     = 0,
                                      u +1          x
или
                             1
                               ln(u2 + 1) + arctg u + ln|u| = const,
                             2
т.е. общее решение имеет вид
                                                       y
                                 x2 + y 2 = ke−2 arctg x ,     k = const.
Переходя к полярным координатам, мы получаем уравнение семейства логарифмических спиралей
                                                r = ke−ϕ .
Геометрически эти кривые характеризуются тем, что пересекают радиус-векторы под постоянным
углом α = arcctg k.
  Пример 16. Вот задача из геометрической оптики, сводящаяся к однородным дифференциаль-
ным уравнениям: какую форму должно иметь зеркало, чтобы падающий на него поток парал-
лельных лучей фокусировался в одной точке?
  Предположим, лучи падают на зеркало справа параллельно оси x и запишем закон отражения
света5 — угол падения равен углу отражения. Получающееся уравнение имеет вид
                                         q       
2
                                      ′
                                           1 + xy − 1
                                     y =       y      .
                                                        x

  5При падении на искривлённую поверхность свет отражается от касательной плоскости.