Дифференциальные уравнения. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 3
Пример 6. Пусть плоская кривая задана уравнением y = f(x). Какова должна быть функция f,
чтобы отрезок касательной, заключённый между осями, делился точкой касания в заданном от-
ношении k : l?
Поскольку значение производной в каждой точке совпадает с тангенсом у гла наклона каса-
тельной к оси x, сформулированное условие можно записать в виде
lf
′
f
+
k
x
= 0.
Произвольное решение имеет вид
y
l
x
k
= const.
Постоянную в правой части можно найти, если указать через какую точку проходит искомая
кривая.
2. Определение и общие свойства
Итак, мы видели, что многие задачи физики и математики приводят к соотношениям (связям)
между неизвестной функцией (или функциями) и её производными.
Определение 1. Уравнение вида
F (x, y,
dy
dx
,
d
2
y
dx
2
, . . . ,
d
k
y
dx
k
) = 0 (6)
называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Число k называется порядком урав-
нения (6). Функция y = f (x) называется решением уравнения (6), если выражение
F (x, f,
df
dx
,
d
2
f
dx
2
, . . . ,
d
k
f
dx
k
) = 0
является тождеством
1
.
Замечание 3. Конечно, обозначения, использованные в определении 1, не играют существен-
ной роли: неизвестная функция может обозначаться через x, а независимая переменная — через t
и т.п.
Замечание 4. В некоторых из рассмотренных в § 1 примерах возникала не одна, а несколько
неизвестных функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Поэтому мы
будем говорить, что
F
1
(x, y
1
, . . . , y
n
,
dy
1
dx
, . . . ,
dy
n
dx
,
d
k
y
1
dx
k
, . . . ,
d
k
y
n
dx
k
) = 0,
. . .
F
n
(x, y
1
, . . . , y
n
,
dy
1
dx
, . . . ,
dy
n
dx
,
d
k
y
1
dx
k
, . . . ,
d
k
y
n
dx
k
) = 0
(7)
является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (порядка k), а вектор-функция
y = (f
1
(x), . . . , f
n
(x)) — её решение, если при подстановке вместо всех y
i
функций f
i
(x) все урав-
нения системы (7) все входящие в неё уравнения превращаются в тождества.
Замечание 5. Дифференциальные уравнения, которые мы определили выше, называются
обыкновенными в противоположность так называемым дифференциальным уравнениям в част-
ных производных. Такие уравнения возникают, если неизвестная функция зависит от двух или
более переменных. Например, уравнение
∂T
∂t
=
∂
2
T
∂x
2
описывает закон изменения во времени и распределения по длине температуры нагретого стерж-
ня. Это уравнение называется уравнением теплопроводности.
1
Решения уравнения (6) называют также его интегральными кривыми.
                                  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                          3

  Пример 6. Пусть плоская кривая задана уравнением y = f (x). Какова должна быть функция f ,
чтобы отрезок касательной, заключённый между осями, делился точкой касания в заданном от-
ношении k : l?
  Поскольку значение производной в каждой точке совпадает с тангенсом угла наклона каса-
тельной к оси x, сформулированное условие можно записать в виде
                                               lf ′ k
                                                   + = 0.
                                                f   x
Произвольное решение имеет вид
                                    y l xk = const.
Постоянную в правой части можно найти, если указать через какую точку проходит искомая
кривая.


  2. Определение и общие свойства
  Итак, мы видели, что многие задачи физики и математики приводят к соотношениям (связям)
между неизвестной функцией (или функциями) и её производными.
  Определение 1. Уравнение вида
                                        dy d2 y    dk y
                                    F (x, y,
                                           , 2,..., k) = 0                         (6)
                                        dx dx      dx
называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Число k называется порядком урав-
нения (6). Функция y = f (x) называется решением уравнения (6), если выражение
                                               df d2 f   dk f
                                    F (x, f,     , 2,..., k) = 0
                                               dx dx     dx
является тождеством1 .
   Замечание 3. Конечно, обозначения, использованные в определении 1, не играют существен-
ной роли: неизвестная функция может обозначаться через x, а независимая переменная — через t
и т.п.
  Замечание 4. В некоторых из рассмотренных в § 1 примерах возникала не одна, а несколько
неизвестных функций, связанных между собой дифференциальными уравнениями. Поэтому мы
будем говорить, что
                     
                                               dy1          dyn dk y1          dk yn
                     F1 (x, y1 , . . . , yn , dx , . . . , dx , dxk , . . . , dxk ) = 0,
                     
                       ...                                                                (7)
                     
                                               dy1          dyn dk y1          dk yn
                       Fn (x, y1 , . . . , yn , dx , . . . , dx , dxk , . . . , dxk ) = 0
является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (порядка k), а вектор-функция
y = (f1 (x), . . . , fn (x)) — её решение, если при подстановке вместо всех yi функций fi (x) все урав-
нения системы (7) все входящие в неё уравнения превращаются в тождества.
  Замечание 5. Дифференциальные уравнения, которые мы определили выше, называются
обыкновенными в противоположность так называемым дифференциальным уравнениям в част-
ных производных. Такие уравнения возникают, если неизвестная функция зависит от двух или
более переменных. Например, уравнение
                                         ∂T   ∂2T
                                            =
                                         ∂t   ∂x2
описывает закон изменения во времени и распределения по длине температуры нагретого стерж-
ня. Это уравнение называется уравнением теплопроводности.
  1Решения уравнения (6) называют также его интегральными кривыми.

Страницы