Дифференциальные уравнения. - 1 стр.

                          ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


  Понятие дифференциального уравнения — ключевое для приложений математики к различным
областям естествознания и, в особенности, к физике и механике. Дифференциальные уравнения
описывают движение тел в силовых полях (например, заряда в электромагнитном поле), дина-
мику жидкостей и газов (например, атмосферы и океана, без чего не возможно предсказание
погоды), распространение тепла и многое другое.
  Мы рассмотрим ряд примеров, приводящих к дифференциальным уравнениям, кратко опишем
общие свойства дифференциальных уравнений и научимся решать некоторые уравнения специ-
ального вида.


  1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
  Дифференциальные уравнения связывают между собой неизвестную функцию (или несколько
таких функций) с её производными. С простейшими уравнениями такого типа мы уже фактически
сталкивались.
  Пример 1 (нахождение первообразной). Пусть f (x) — функция на действительной прямой.
Найти её первообразную означает найти такую функцию y = F (x), что
                                        dy
                                           = f (x).                                       (1)
                                        dx
Это — дифференциальное уравнение на неизвестную функцию y, и известно, что если в его правой
части стои́т «хорошая» (например, непрерывная) функция, то его произвольное решение имеет
вид
                                         Z x
                                      y=     f (x) dx,                                    (2)
                                                x0
где x0 — любая точка прямой.
  Замечание 1. Следует задуматься, в каком смысле мы «решили» уравнение (1)? Для некото-
рых функций f формула (2) действительно даёт решение: например, если f (x) = x, то решением
                                      2                                      2
является произвольная функция вида x2 + const. Если же, скажем, f (x) = e−x , то интеграл,
стоя́щий в правой части, можно понимать лишь как обозначение решения и формула (2) говорит
лишь о существовании этого решения.
  Пример 2 (поле скоростей). Пусть тело движется на плоскости и в каждой точке известна его
скорость v = (a(x, y), b(x, y)). Как по этим данным восстановить траекторию тела? Пусть искомая
траектория задаётся параметрическими уравнениями
                                        x = x(t),        y = y(t),
где t — время. Поскольку скорость движения по кривой — это производные координат по пара-
метру, мы приходим к системе дифференциальных уравнений
                                    dx                   dy
                                       = a(x, y),           = b(x, y).
                                    dt                   dt
                     k2         2
Например, если a =   x,   b = − ky , то тело будет двигаться по эллипсам

                                         x2   y2
                                            +    = const,
                                         2k2 2l2
                                                     1