Дифференциальные уравнения. - 4 стр.

4                                      ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

  В дальнейшем мы будем изучать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэто-
му называть слово «обыкновенные» будем часто опускать.

  Вернёмся к рассмотренным примерам и заметим, что в каждом из них получаемые решения
завися от некоторого числа произвольных постоянных. Это — общий факт: вообще говоря, про-
извольное решение системы (7), если оно существует, зависит от nk постоянных

                                   c11 , . . . , c1k , c21 , . . . , c2k , . . . , cn1 , . . . , cnk .     (8)

Поэтому, чтобы выделить конкретное решение из совокупности возможных, нужно добавить к
уравнению (7) nk дополнительных условий. Существуют разные способы задания этих условий.
Один из самых распространённых — это данные Коши.

  Определение 2. Пусть задана точка x0 ∈ R. Задачей Коши для системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений (7) называется построение такого решения y = (y1 , . . . , yn ), что
                                                                                 (k−1)
                            y1 (x0 ) = c11 , y1′ (x0 ) = c12 , . . . , y1                (x0 ) = c1k ,
                                                                                 (k−1)
                            y2 (x0 ) = c21 , y1′ (x0 ) =          c22 , . . . , y1     (x0 )     = c2k ,
                            .....................................
                            yn (x0 ) = cn1 , yn′ (x0 ) = cn2 , . . . , yn(k−1) (x0 ) = cnk .

При этом сами числа cij называются данными Коши (или начальными данными).

  Пример 7. В примере 3 естественными данными Коши являются координаты начальной точки
траектории и компоненты скорости в той же точке. Если механическая система, движение кото-
рой на плоскости, состоит из n материальных точек и подчиняется второму закону Ньютона, то
поведение этой системы полностью определяется 4n числами — 2n координатами и 2n компонен-
тами скоростей в начальный момент времени. В трёхмерном пространстве, естественно, нужно
задать 6n чисел.

  Оказывается, задача Коши разрешима, причём разрешима однозначно, для «большинства»
обыкновенных дифференциальных уравнений. Чтобы точно сформулировать этот результат, сде-
лаем несколько предварительных замечаний.
  Во-первых, введём такие формальные переменные pij , что переменная pij соответствует j-й
производной неизвестной функции yi . Тогда систему (7) можно переписать в виде
                      
                      F1 (x, p10 , . . . , pn0 , p11 , . . . , pn1 , p1k , . . . , pnk ) = 0,
                      
                        ...                                                                     (9)
                      
                      
                        Fn (x, p10 , . . . , pn0 , p11 , . . . , pn1 , p1k , . . . , pnk ) = 0.

Во-вторых, предположим, что в некоторой точке θ = (x0 , p011 , . . . , p0nk ) якобиан
                                                       ∂F1         ∂F1
                                                       ∂p1k  . . . ∂p nk
                                                       ...............
                                                       ∂Fn         ∂Fn
                                                       ∂p1k . . .  ∂pnk

отличен от нуля. Тогда по теореме о неявной функции систему (9) можно разрешить относительно
переменных p1k , . . . , pnk , т.е. преобразовать её к виду
                     
                     p1k = f1 (x, p10 , . . . , pn0 , p11 . . . , pn1 , . . . , p1,k−1 , . . . , pn,k−1 ),
                     
                         .............
                     
                     
                         pnk = fn (x, p10 , . . . , pn0 , p11 . . . , pn1 , . . . , p1,k−1 , . . . , pn,k−1 ).