Дифференциальные уравнения. - 2 стр.

2                                     ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

                 k2        k2
а в случае a =   x,   b=   y    траекториями будут гиперболы
                                     x2    y2
                                        2
                                          − 2 = const.
                                     2k    2l
  В случае произвольных a и b, нельзя найти общей формулы для решений, но для «хороших»
функций можно доказать, что решения существуют.
   Пример 3 (движение в поле сил). Пусть к каждой точке плоскости приложена сила F =
(f (x, y), g(x, y)). Тогда движение материальной точки массы m под действием силы F подчи-
няется второму закону Ньютона F = ma, где a — ускорение. Поскольку вектор ускорения есть
вторая производная радиус-вектора точки (производная скорости по времени), уравнения движе-
ния запишутся в виде
                                    d2 x            d2 y
                                  m 2 = f (x, y), m 2 = f (x, y).                       (3)
                                    dt              dt
Например, если материальное тело движется в гравитационном поле, источником которого яв-
ляется тело с массой M , значительно превышающей m, и находящееся в начале координат, по
закону всемирного тяготения уравнения движения будут иметь вид
                                   d2 x        x       d2 y        y
                                      2
                                        = −γ 2     ,        = −γ 2     ,
                                   dt       x + y2     dt 2     x + y2
где γ — гравитационная постоянная. Если массы движущихся тел сравнимы по величине (как,
например, в случае двойных звёзд), то уравнения движения станут более сложными и будут
содержать четыре неизвестные функции.
  Замечание 2. Не следует думать, что в уравнениях (3) величина m всегда постоянна. Напри-
мер, если эти уравнения описывают полёт ракеты, то масса убывает из-за сгорания топлива.
  Пример 4 (закон Гука). Этот закон гласит, что сила реакции пружины (сила упругости) про-
порциональна длине её растяжения. Пусть вся масса пружины сосредоточена на одном из её
концов и равна m. Если пружину «привязать» другим концом к началу координат и растягивать
вдоль оси x направо, то из второго закона Ньютона следует, что
                                   d2 x
                                        = −kx,
                                         m          k > 0.                         (4)
                                    dt2
Любое решение уравнения (4) имеет вид
                                         r             r
                                           k             k
                               x = A cos     t + B sin     t,                      (5)
                                           m             m
где A и B — произвольные постоянные. Эти постоянные можно найти, если знать, например
начальное положение и начальную скорость правого конца.
  Пример 5. Если тело брошено в воздух и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то урав-
нениями движения являются
                                     d2 x      d2 y
                                          = 0,      = −g,
                                     dt2        dt2
где g — ускорение свободного падения. Решения этого уравнения имеют вид
                                                  1
                               x = αt + β, y = − gt2 + γt + δ,
                                                  2
где греческими буквами обозначены произвольные постоянные. Эти постоянные можно найти, ес-
ли известны координаты точки, из которой производилось бросание, и начальная скорость. Тра-
екторией тела всегда (кроме случая, когда тело бросали в вертикальном направлении) является
парабола.
    В заключение рассмотрим пример из геометрии.