ВУЗ:
Рубрика:
14 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Применяя к уравнению (38) замену переменных (36), мы получаем уравнение с разделяющи-
мися переменными
6
dp
p
p
1 + p
2
=
a
v
·
dy
y
. (39)
Из условий задачи следует, что величина p = y
′
отрицательна, и поэтому
dp
p
p
1 + p
2
= −
dp
p
2
q
1 +
1
p
2
.
Поэтому, интегрируя (39) получаем
ln
1
p
+
r
1
p
2
+ 1
=
a
v
(ln|y| + c).
Если предположить, что в начальный момент времени преследователь и преследуемый имели
одну и ту же ординату y
0
, то последнее равенство перепишется в виде
1
p
+
r
1
p
2
+ 1 =
y
y
0
a
v
.
Из последнего уравнения следует, что
2
p
=
y
y
0
a
v
−
y
y
0
−
a
v
,
или
dx =
1
2
y
y
0
a
v
−
y
y
0
−
a
v
.
Считая, что a < v, т.е. что преследователь может догнать цель, получаем решение в виде
x =
y
0
2
"
y
y
0
1+
a
v
− 1
1 +
a
v
−
y
y
0
1−
a
v
−1
1 −
a
v
#
+ x
0
,
где x
0
— абсцисса в начальный момент времени. При этом абсцисса точки встречи есть
x
1
= x
0
+ y
0
av
v
2
− a
2
,
а продолжительность погони —
T =
y
0
v
v
2
− a
2
.
3.5. Линейные уравнения первого порядка
Определение 3. Дифференциальное уравнение вида
a
k
(x)y
(k)
+ a
k−1
(x)y
(k−1)
+ ··· + a
1
(x)y
′
+ a
0
(x)y = b(x) (40)
называется линейным. В случае, если b(x) = 0, линейное уравнение называется однородным, в
противном случае — неоднородным. Аналогичным образом, система дифференциальных уравне-
ний
a
1
1k
(x)y
(k)
1
+ ··· + a
n
1k
(x)y
(k)
n
+ ··· + a
1
10
(x)y
1
+ ··· + a
n
10
(x)y
n
= b
1
(x),
......................
a
1
nk
(x)y
(k)
1
+ ··· + a
n
nk
(x)y
(k)
n
+ ··· + a
1
n0
(x)y
1
+ ··· + a
n
n0
(x)y
n
= b
n
(x)
(41)
называется линейной, и эта система однородна, если все функции b
1
, . . . , b
n
, стоящие в её правой
части, равны нулю.
Множества решений линейных уравнений обладают следующими важными свойствами. Сфор-
мулируем их для скалярных уравнений.
6
Деля на p, мы потеряли решение y = const, но оно не представляет интереса, поскольку соответствует движению
преследователя по той же прямой, что и преследуемый.
14 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Применяя к уравнению (38) замену переменных (36), мы получаем уравнение с разделяющи-
мися переменными6
dp a dy
p = · . (39)
p 1+p 2 v y
Из условий задачи следует, что величина p = y ′ отрицательна, и поэтому
dp
dp p2
p = −q .
p 1 + p2 1+ 1
p2
Поэтому, интегрируя (39) получаем
1 r 1 a
ln + + 1 = (ln|y| + c).
p p2 v
Если предположить, что в начальный момент времени преследователь и преследуемый имели
одну и ту же ординату y0 , то последнее равенство перепишется в виде
r y a
1 1 v
+ + 1 = .
p p2 y0
Из последнего уравнения следует, что
2 y av y − va
= − ,
p y0 y0
или
1 y av y − va
dx = − .
2 y0 y0
Считая, что a < v, т.е. что преследователь может догнать цель, получаем решение в виде
" y 1+ a y 1− v
a #
y 0 y0 v
−1 y − 1
x= − 0 + x0 ,
2 1 + av 1 − av
где x0 — абсцисса в начальный момент времени. При этом абсцисса точки встречи есть
av
x1 = x0 + y0 2 ,
v − a2
а продолжительность погони —
y0 v
T = 2 .
v − a2
3.5. Линейные уравнения первого порядка
Определение 3. Дифференциальное уравнение вида
ak (x)y (k) + ak−1 (x)y (k−1) + · · · + a1 (x)y ′ + a0 (x)y = b(x) (40)
называется линейным. В случае, если b(x) = 0, линейное уравнение называется однородным, в
противном случае — неоднородным. Аналогичным образом, система дифференциальных уравне-
ний
1 (k) n (k) 1 n
a1k (x)y1 + · · · + a1k (x)yn + · · · + a10 (x)y1 + · · · + a10 (x)yn = b1 (x),
...................... (41)
(k) (k)
1 n 1 n
ank (x)y1 + · · · + ank (x)yn + · · · + an0 (x)y1 + · · · + an0 (x)yn = bn (x)
называется линейной, и эта система однородна, если все функции b1 , . . . , bn , стоящие в её правой
части, равны нулю.
Множества решений линейных уравнений обладают следующими важными свойствами. Сфор-
мулируем их для скалярных уравнений.
6Деля на p, мы потеряли решение y = const, но оно не представляет интереса, поскольку соответствует движению
преследователя по той же прямой, что и преследуемый.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- …
- следующая ›
- последняя »
