Дифференциальные уравнения. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17
решать которое мы уже умеем.
Решим, например, таким способом уравнение
x
dy
dx
− 4y = x
2
·
√
y.
Оно является уравнением Бернулли с n =
1
2
. Поэтому, в силу (49) новая переменная имеет вид z =
√
y. Делая соответствующую замену, мы приходим к линейному неоднородному уравнению
dz
dx
−
2z
x
=
x
2
.
Общим решением соответствующего однородного уравнения является функция
z = kx
2
,
а методом вариации постоя нной мы получаем частное решение неоднородного уравнения в виде
z =
1
2
x
2
ln x.
Поэтому общее решение есть
z = x
2
(k +
1
2
ln x).
Возвращаясь к функции y, получаем общий вид решений исходного уравнения
y = x
4
(k +
1
2
ln x)
2
, k = const.
Добавив сюда потерянное решение y = 0, мы получим все решения.
3.6. Решение некоторых уравнений с помощью рядов
Поскольку дифференциальное уравнение общего вида решить точно, как правило, не удаётся,
необходимы приближённые методы решения. Один из таких методов — в буквальном смысле пря-
молинейный — даёт доказательство теоремы существования и единственности (см. замечание 7).
Другой основывается на использовании теории рядов, и мы проиллюстрируем его на простых
примерах.
Пример 22. Рассмотрим уравнение колебания пружины
m
d
2
x
dt
2
= −kx, k > 0,
(см. пример 4). Предположим, что его решение разлагается в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора)
в окрестности точки t = 0 и положим
x = x
0
+ x
1
t + x
2
t
2
+ ··· + x
i
t
i
+ ··· =
∞
X
i=0
x
i
t
i
. (51)
Дифференцируя этот ряд дважды по t, получаем ряд для второй производной решения
d
2
x
dt
2
= 2x
2
+ 6x
3
t + 12x
4
t
2
+ ··· + (i + 2)(i + 1)x
i+2
t
i
+ ··· =
∞
X
i=0
(i + 2)(i + 1)x
i+2
t
i
.
Подставляя эти выражения в уравнение, мы приходим к равенству
m
∞
X
i=0
(i + 2)(i + 1)x
i+2
t
i
= −k
∞
X
i=0
x
i
t
i
.
                                    ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                              17

решать которое мы уже умеем.
  Решим, например, таким способом уравнение
                                                  dy            √
                                              x      − 4y = x2 · y.
                                                  dx
Оно является уравнением Бернулли с n = 12 . Поэтому, в силу (49) новая переменная имеет вид z =
√
  y. Делая соответствующую замену, мы приходим к линейному неоднородному уравнению
                                    dz   2z    x
                                       −    = .
                                    dx    x    2
Общим решением соответствующего однородного уравнения является функция
                                                     z = kx2 ,
а методом вариации постоянной мы получаем частное решение неоднородного уравнения в виде
                                                        1 2
                                                   z=     x ln x.
                                                        2
Поэтому общее решение есть
                                             1
                                              z = x2 (k +
                                               ln x).
                                             2
Возвращаясь к функции y, получаем общий вид решений исходного уравнения
                                        1
                                    y = x4 (k +
                                          ln x)2 , k = const.
                                        2
Добавив сюда потерянное решение y = 0, мы получим все решения.


  3.6. Решение некоторых уравнений с помощью рядов
  Поскольку дифференциальное уравнение общего вида решить точно, как правило, не удаётся,
необходимы приближённые методы решения. Один из таких методов — в буквальном смысле пря-
молинейный — даёт доказательство теоремы существования и единственности (см. замечание 7).
Другой основывается на использовании теории рядов, и мы проиллюстрируем его на простых
примерах.

  Пример 22. Рассмотрим уравнение колебания пружины
                                              d2 x
                                          m        = −kx,           k > 0,
                                              dt2
(см. пример 4). Предположим, что его решение разлагается в степенной ряд (т.е. в ряд Тейлора)
в окрестности точки t = 0 и положим
                                                                               ∞
                                                                               X
                           x = x0 + x1 t + x2 t2 + · · · + xi ti + · · · =           xi ti .              (51)
                                                                               i=0

Дифференцируя этот ряд дважды по t, получаем ряд для второй производной решения
                                                                                      ∞
       d2 x                                                                   X
          2
            = 2x2 + 6x3 t + 12x4 t2 + · · · + (i + 2)(i + 1)xi+2 ti + · · · =   (i + 2)(i + 1)xi+2 ti .
       dt
                                                                                     i=0

Подставляя эти выражения в уравнение, мы приходим к равенству
                                    ∞
                                    X                            ∞
                                                                 X
                                m     (i + 2)(i + 1)xi+2 ti = −k   xi ti .
                                    i=0                                  i=0

Страницы