ВУЗ:
Рубрика:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 19
где A и B — произвольные постоянные.
Пример 23 (уравнение Риккати). Рассмотрим нелинейное уравнение
y
′
= y
2
+ R(x), (52)
являющееся частным случаем уравнения Риккати, решения которого играют важную роль в
геофизике, теории управления и других приложениях.
Замечание 11. Общее уравнение Риккати имеет вид
y
′
= P (x)y
2
+ Q(x)y + R(x),
однако заменами переменных его можно привести к виду
y
′
= ±y
2
+ R(x).
Про это уравнение известно, что, вообще говоря, его решения нельзя выразить с помощью
интегралов от элементарных функций.
Замечание 12. Конечно, в некоторых частных случаях это не так. Например, если R = 0, то
уравнение Риккати превращается в уравнение Бернулли, при P = 0 — это линейное неоднородное
уравнение.
Использование теории рядов позволяет получить рекуррентные соотношения для коэффици-
ентов ряда Тейлора неизвестной функции и, таким образом, вычислять приближённые решения с
заданной точностью. Пусть y
i
, y
(2)
i
и r
i
— коэффициенты разложения функций y(x), y
2
(x) и R(x)
в степенные ряды:
y =
∞
X
i=0
y
i
x
i
, y
2
=
∞
X
i=0
y
(2)
i
x
i
, R =
∞
X
i=0
r
i
x
i
. (53)
Подставляя выражения (53) в уравнение (52) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях x, получаем
(i + 1)y
i+1
= y
(2)
i
+ r
i
, i = 0, 1, 2, . . . (54)
С другой стороны,
(
∞
X
i=0
y
i
x
i
)
2
=
∞
X
i=0
y
(2)
i
x
i
и поэтому
y
(2)
0
= y
2
0
,
y
(2)
1
= 2y
0
y
1
,
y
(2)
2
= 2y
0
y
2
+ y
2
1
,
y
(2)
3
= 2(y
0
y
3
+ y
1
y
2
),
y
(2)
4
= 2(y
0
y
4
+ y
1
y
3
) + y
2
2
,
.......................
y
(2)
2i
= 2(y
0
y
2i
+ y
1
y
2i−1
+ ··· + y
i−1
y
i+1
) + y
2
i
,
y
(2)
2i+1
= 2(y
0
y
2i+1
+ y
1
y
2i
+ ··· + y
i
y
i+1
),
.......................
Поэтому из (54) следует, что
y
2i+1
=
2(y
0
y
2i
+ y
1
y
2i−1
+ ··· + y
i−1
y
i+1
) + y
2
i
+ r
2i
2i + 1
,
y
2i+2
=
2(y
0
y
2i+1
+ y
1
y
2i
+ ··· + y
i
y
i+1
) + r
2i+1
2i + 2
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 19
где A и B — произвольные постоянные.
Пример 23 (уравнение Риккати). Рассмотрим нелинейное уравнение
y ′ = y 2 + R(x), (52)
являющееся частным случаем уравнения Риккати, решения которого играют важную роль в
геофизике, теории управления и других приложениях.
Замечание 11. Общее уравнение Риккати имеет вид
y ′ = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x),
однако заменами переменных его можно привести к виду
y ′ = ±y 2 + R(x).
Про это уравнение известно, что, вообще говоря, его решения нельзя выразить с помощью
интегралов от элементарных функций.
Замечание 12. Конечно, в некоторых частных случаях это не так. Например, если R = 0, то
уравнение Риккати превращается в уравнение Бернулли, при P = 0 — это линейное неоднородное
уравнение.
Использование теории рядов позволяет получить рекуррентные соотношения для коэффици-
ентов ряда Тейлора неизвестной функции и, таким образом, вычислять приближённые решения с
(2)
заданной точностью. Пусть yi , yi и ri — коэффициенты разложения функций y(x), y 2 (x) и R(x)
в степенные ряды:
X∞ ∞
X ∞
X
(2)
y= yi xi , y 2 = yi xi , R = ri xi . (53)
i=0 i=0 i=0
Подставляя выражения (53) в уравнение (52) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях x, получаем
(2)
(i + 1)yi+1 = yi + ri , i = 0, 1, 2, . . . (54)
С другой стороны,
X∞ X∞
i 2 (2)
( yi x ) = yi xi
i=0 i=0
и поэтому
(2)
y0 = y02 ,
(2)
y1 = 2y0 y1 ,
(2)
y2 = 2y0 y2 + y12 ,
(2)
y3 = 2(y0 y3 + y1 y2 ),
(2)
y4 = 2(y0 y4 + y1 y3 ) + y22 ,
.......................
(2)
y2i = 2(y0 y2i + y1 y2i−1 + · · · + yi−1 yi+1 ) + yi2 ,
(2)
y2i+1 = 2(y0 y2i+1 + y1 y2i + · · · + yi yi+1 ),
.......................
Поэтому из (54) следует, что
2(y0 y2i + y1 y2i−1 + · · · + yi−1 yi+1 ) + yi2 + r2i
y2i+1 = ,
2i + 1
2(y0 y2i+1 + y1 y2i + · · · + yi yi+1 ) + r2i+1
y2i+2 = .
2i + 2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
