Дифференциальные уравнения. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

24 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Предложение 6. Частное решение уравнения
y
(k)
+ a
k−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = P
r
(x)e
λx
может быть найдено в виде
x
m
R
r
(x)e
λx
где m есть кратность корня λ характеристического многочлена, а уравнения
y
(k)
+ a
k−1
y
(k−1)
+ ··· + a
1
y
′
+ a
0
y = e
px
(P
r
(x) sin qx + Q
r
(x) cos qx)
— в виде
x
m
e
px
(R
r
(x) sin qx + S
r
(x) cos qx),
где m есть кратность корня λ = p + iq характеристического многочлена
9
.
Выше функции R
r
(x) и S
r
(x) являются многочленами степени r. Коэффициенты этих много-
членов, как будет видно из примеров, находятся методом неопределённых коэффициентов.
Замечание 13. Пусть y
1
— решение уравнения (63) с правой частью f
1
, а y
2
— решение,
сответчтвующее правой части f
2
. Тогда αy
1
+ βy
2
является решением уравнения с правой ча-
стью αf
1
+βf
2
. Поэтому предложение 6 фактически позволяет решать все уравнения (63), правые
части которых являются линейными комбинациями функций вида (64).
Пример 30. Рассмотрим уравнение
y
′′′
+ y
′′
= x
2
+ 1 + 3xe
x
.
Согласно сделанному замечанию мы можем независимо рассмотреть два уравнения:
y
′′′
+ y
′′
= x
2
+ 1
и
y
′′′
+ y
′′
= 3xe
x
.
Характеристический многочлен однородного уравнения имеет вид P (λ) = λ
3
+λ
2
; его корни λ
1
= 0
(кратности 2) и λ
2
= −1 (кратности 1). Значит, решение первого уравнения следует искать в виде
y
1
= x
2
(a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
),
а второго — в виде
y
2
= e
x
(b
0
+ b
1
x),
где a
i
, b
j
— неопределённые коэффициенты. Подставляя y
1
в первое уравнение, получаем
1 + x
2
= y
′′′
1
+ y
′′
1
= (a
0
x
2
+ a
1
x
3
+ a
2
x
4
)
′′′
+ (a
0
x
2
+ a
1
x
3
+ a
2
x
4
)
′′
=
= (6a
1
+ 24a
2
x) + (2a
0
+ 6a
1
x + 12a
2
x
2
) = (6a
1
+ 2a
0
) + (24a
2
+ 6a
1
)x + 12a
2
x
2
.
Значит,
6a
1
+ 2a
0
= 1,
24a
2
+ 6a
1
,
12a
2
= 1,
откуда следует, что
a
2
=
1
12
, a
1
= −
1
3
, a
0
=
3
2
.
Таким образом,
y
1
=
3
2
x
2
−
1
3
x
3
+
1
12
x
4
— частное решение первого уравнения.
Аналогично, подставляя y
2
во второе уравнение, получаем
3xe
x
= y
′′′
2
+ y
′′
2
=
e
x
(b
0
+ b
1
x)
′′′
+
e
x
(b
0
+ b
1
x)
′′
=
9
Если λ не я вляется корнем, то кратность равна нулю.
24                                        ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

     Предложение 6. Частное решение уравнения
                                  y (k) + ak−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = Pr (x)eλx
может быть найдено в виде
                                        xm Rr (x)eλx
где m есть кратность корня λ характеристического многочлена, а уравнения
                     y (k) + ak−1 y (k−1) + · · · + a1 y ′ + a0 y = epx (Pr (x) sin qx + Qr (x) cos qx)
— в виде
                              xm epx (Rr (x) sin qx + Sr (x) cos qx),
где m есть кратность корня λ = p + iq характеристического многочлена9 .
  Выше функции Rr (x) и Sr (x) являются многочленами степени r. Коэффициенты этих много-
членов, как будет видно из примеров, находятся методом неопределённых коэффициентов.
  Замечание 13. Пусть y1 — решение уравнения (63) с правой частью f1 , а y2 — решение,
сответчтвующее правой части f2 . Тогда αy1 + βy2 является решением уравнения с правой ча-
стью αf1 +βf2 . Поэтому предложение 6 фактически позволяет решать все уравнения (63), правые
части которых являются линейными комбинациями функций вида (64).
     Пример 30. Рассмотрим уравнение
                                               y ′′′ + y ′′ = x2 + 1 + 3xex .
Согласно сделанному замечанию мы можем независимо рассмотреть два уравнения:
                                                    y ′′′ + y ′′ = x2 + 1
и
                                        y ′′′ + y ′′ = 3xex .
Характеристический многочлен однородного уравнения имеет вид P (λ) = λ3 +λ2 ; его корни λ1 = 0
(кратности 2) и λ2 = −1 (кратности 1). Значит, решение первого уравнения следует искать в виде
                                               y1 = x2 (a0 + a1 x + a2 x2 ),
а второго — в виде
                                      y2 = ex (b0 + b1 x),
где ai , bj — неопределённые коэффициенты. Подставляя y1 в первое уравнение, получаем

     1 + x2 = y1′′′ + y1′′ = (a0 x2 + a1 x3 + a2 x4 )′′′ + (a0 x2 + a1 x3 + a2 x4 )′′ =
                      = (6a1 + 24a2 x) + (2a0 + 6a1 x + 12a2 x2 ) = (6a1 + 2a0 ) + (24a2 + 6a1 )x + 12a2 x2 .
Значит,                                            
                                                   6a1 + 2a0 = 1,
                                                   
                                                    24a2 + 6a1 ,
                                                   
                                                   
                                                    12a2 = 1,
откуда следует, что
                                                   1            1           3
                                            a2 =      ,   a1 = − ,      a0 = .
                                                   12           3           2
Таким образом,
                                              3      1     1
                                          y1 = x2 − x3 + x4
                                              2      3    12
— частное решение первого уравнения.
  Аналогично, подставляя y2 во второе уравнение, получаем
                                     ′′′             ′′
 3xex = y2′′′ + y2′′ = ex (b0 + b1 x) + ex (b0 + b1 x) =
     9Если λ не является корнем, то кратность равна нулю.

Страницы