Дифференциальные уравнения. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
x = A sin(at + δ) +
p
a
2
− ω
2
sin ωt. (66)
Таким образом, движение системы получается наложением друг на друга её собственного колеба-
ния и вынужденного колебания. Заметим, что амплитуда последнего бесконечно возрастает при
приближении вынужденной частоты ω к собственной частоте системы a.
Случай 2: ω = a. Частота возмущающей силы совпадает с собственной. Решение в этом случае
должно иметь вид
x = t(α cos ωt + β sin ωt).
После подстановки в уравнение получаем
α = −
p
2a
, β = 0,
т.е. общее решение имеет вид
x = A sin(at + δ) −
p
2a
cos at.
Таким образом, во втором случае амплитуда колебания неограниченно возрастает. Это явление
носит название резонанса.
Пример 33. Изучим теперь поведение системы с сопротивлением (см. пример 27) при наличии
возмущающей силы. Уравнение движения имеет вид
d
2
x
dt
2
+ 2b
dt
dx
= p sin ωt. (67)
Полагая по-прежнему b < a и опуская вычисления, выпишем общее решение уравнения (67). Оно
имеет вид
x = Ae
−bt
sin(
p
a
2
− b
2
t + δ) +
p
p
(a
2
− ω
2
)
2
+ 4b
2
ω
2
sin(ωt + δ
′
),
где
δ
′
= −arctg
2bω
a
2
− ω
2
.
Таким образом, при больших временах затухающие собственные колебания системы становятся
исчезающе малыми по сравнению с вынужденными. «Настоящего» резонанса нет, но при часто-
те ω, близкой к частоте собственных колебаний a, амплитуда вынужденных колебаний велика
из-за малости величины b.
Решение с помощью рядов Фурье. На основе полученных выше результатов линейные урав-
нения с произвольной правой частью можно решать с помощью рядов Фурье. Покажем это на
примере уравнения
d
2
x
dt
2
+ qx = f (x), q 6= 0.
Пусть
a
0
2
+
∞
X
k=1
(a
k
cos kx + b
k
sin kx)
— разложение правой части в ряд Фурье.
Возможны два случая.
Случай 1: q 6= n
2
. В этом случае частное решение получается в виде ряда Фурье
y =
a
0
2q
+
∞
X
k=1
a
k
q − k
2
cos kt +
b
k
q −k
2
sin kt
.
Можно показать, что этот ряд равномерно сходится и его сумма удовлетворяет уравнению.
26                            ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
                                                 p
                              x = A sin(at + δ) +     sin ωt.                          (66)
                                                    a2
                                                 − ω2
Таким образом, движение системы получается наложением друг на друга её собственного колеба-
ния и вынужденного колебания. Заметим, что амплитуда последнего бесконечно возрастает при
приближении вынужденной частоты ω к собственной частоте системы a.

Случай 2: ω = a. Частота возмущающей силы совпадает с собственной. Решение в этом случае
должно иметь вид
                                  x = t(α cos ωt + β sin ωt).
После подстановки в уравнение получаем
                                             p
                                     α = − , β = 0,
                                            2a
т.е. общее решение имеет вид
                                                      p
                                x = A sin(at + δ) −     cos at.
                                                     2a
Таким образом, во втором случае амплитуда колебания неограниченно возрастает. Это явление
носит название резонанса.

  Пример 33. Изучим теперь поведение системы с сопротивлением (см. пример 27) при наличии
возмущающей силы. Уравнение движения имеет вид
                                     d2 x      dt
                                        2
                                          + 2b    = p sin ωt.                         (67)
                                     dt        dx
Полагая по-прежнему b < a и опуская вычисления, выпишем общее решение уравнения (67). Оно
имеет вид                     p                            p
                x = Ae−bt sin( a2 − b2 t + δ) + p                   sin(ωt + δ′ ),
                                                    2     2   2 2
                                                  (a − ω ) + 4b ω 2
где
                                                    2bω
                                     δ′ = − arctg 2         .
                                                   a − ω2
Таким образом, при больших временах затухающие собственные колебания системы становятся
исчезающе малыми по сравнению с вынужденными. «Настоящего» резонанса нет, но при часто-
те ω, близкой к частоте собственных колебаний a, амплитуда вынужденных колебаний велика
из-за малости величины b.

Решение с помощью рядов Фурье. На основе полученных выше результатов линейные урав-
нения с произвольной правой частью можно решать с помощью рядов Фурье. Покажем это на
примере уравнения
                                d2 x
                                     + qx = f (x),     q 6= 0.
                                 dt2
Пусть
                                     ∞
                               a0 X
                                   +    (ak cos kx + bk sin kx)
                                2
                                     k=1
— разложение правой части в ряд Фурье.
  Возможны два случая.
Случай 1: q 6= n2 . В этом случае частное решение получается в виде ряда Фурье
                                    ∞
                              a0 X  ak                   bk          
                          y=     +             cos kt +        sin kt  .
                              2q        q − k2          q − k2
                                  k=1
Можно показать, что этот ряд равномерно сходится и его сумма удовлетворяет уравнению.

Страницы