Дифференциальные уравнения. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 29
В соответствии с формулами (73) и (74) получает два действительных решения
y
′
1
= e
−6x
cos x, y
′
2
= e
−6x
sin x
и
y
′′
1
= e
−6x
(cos x − sin x), y
′′
2
= e
−6x
(cos x + sin x)
и общее решение в виде
y
1
= e
−6x
(C
1
cos x + C
2
sin x), y
2
= e
−6x
((C
1
+ C
2
) cos x + (C
2
− C
1
) sin x).
Случай 2: ∆ > 0. Это означает, что характеристический многочлен имеет два различных дей-
ствительных корня λ
1
и λ
2
. Им соответствуют решения
y
1
= k
11
e
λ
1
x
, y
2
= k
21
e
λ
1
x
и
y
1
= k
12
e
λ
2
x
, y
2
= k
22
e
λ
2
x
,
причём между коэффициентами имеют место следующие соотношения
(
(a
11
− λ
1
)k
11
+ a
12
k
21
= 0,
a
21
k
11
+ (a
22
− λ
1
)k
21
= 0,
(
(a
11
− λ
2
)k
12
+ a
12
k
22
= 0,
a
21
k
12
+ (a
22
− λ
2
)k
22
= 0.
Пример 35. Рассмотрим систему
(
y
1
dx
= 2y
1
+ 2y
2
,
y
2
dx
= 2y
1
− y
2
.
Имеем
P (λ) =
2 − λ 2
2 −1 − λ
= λ
2
− λ − 6.
Корни характеристического многочлена — λ
1
= 3 и λ
2
= −2. Значит, существуют решения
y
1
= k
11
e
3x
, y
2
= k
21
e
3x
и
y
1
= k
12
e
−2x
, y
2
= k
22
e
−2x
,
причём
k
11
= k
21
, 2k
12
+ k
22
= 0.
Значит, общее решение имеет вид
y
1
= C
1
e
3x
+ C
2
e
−2x
, y
2
= C
1
e
3x
− 2C
2
e
−2x
.
Случай 3: ∆ = 0. Пусть λ — корень характеристического многочлена кратности 2. Общее ре-
шение ищется в виде
y
1
= (k
11
+ k
12
x)e
λx
, y
2
= (k
21
+ k
22
x)e
λx
,
а связи между коэффициентами находятся из соотношений
(
k
12
+ λ(k
11
+ k
12
x) = a
11
(k
11
+ k
12
x) + a
12
(k
21
+ k
22
x),
k
22
+ λ(k
21
+ k
22
x) = a
21
(k
11
+ k
12
x) + a
22
(k
21
+ k
22
x).
Пример 36. Рассмотрим систему
(
dy
1
dx
= 4y
1
+ y
2
,
dy
2
dx
= −y
1
+ 2y
2
.
Имеем
P (λ) =
4 − λ 1
−1 2 − λ
= λ
2
− 6λ + 9.
                                   ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ                                           29

В соответствии с формулами (73) и (74) получает два действительных решения
                                    y1′ = e−6x cos x,        y2′ = e−6x sin x
и
                          y1′′ = e−6x (cos x − sin x),       y2′′ = e−6x (cos x + sin x)
и общее решение в виде
            y1 = e−6x (C1 cos x + C2 sin x),         y2 = e−6x ((C1 + C2 ) cos x + (C2 − C1 ) sin x).

Случай 2: ∆ > 0. Это означает, что характеристический многочлен имеет два различных дей-
ствительных корня λ1 и λ2 . Им соответствуют решения
                                       y1 = k11 eλ1 x ,      y2 = k21 eλ1 x
и
                                   y1 = k12 eλ2 x , y2 = k22 eλ2 x ,
причём между коэффициентами имеют место следующие соотношения
               (                                    (
                 (a11 − λ1 )k11 + a12 k21 = 0,        (a11 − λ2 )k12 + a12 k22 = 0,
                 a21 k11 + (a22 − λ1 )k21 = 0,        a21 k12 + (a22 − λ2 )k22 = 0.
    Пример 35. Рассмотрим систему
                                           (
                                               y1
                                               dx    = 2y1 + 2y2 ,
                                               y2
                                               dx    = 2y1 − y2 .
Имеем
                                   2−λ      2
                                 P (λ) =         = λ2 − λ − 6.
                                     2   −1 − λ
Корни характеристического многочлена — λ1 = 3 и λ2 = −2. Значит, существуют решения
                                        y1 = k11 e3x ,       y2 = k21 e3x
и
                                      y1 = k12 e−2x ,       y2 = k22 e−2x ,
причём
                                       k11 = k21 ,        2k12 + k22 = 0.
Значит, общее решение имеет вид
                            y1 = C1 e3x + C2 e−2x ,         y2 = C1 e3x − 2C2 e−2x .

Случай 3: ∆ = 0. Пусть λ — корень характеристического многочлена кратности 2. Общее ре-
шение ищется в виде
                          y1 = (k11 + k12 x)eλx , y2 = (k21 + k22 x)eλx ,
а связи между коэффициентами находятся из соотношений
                  (
                    k12 + λ(k11 + k12 x) = a11 (k11 + k12 x) + a12 (k21 + k22 x),
                    k22 + λ(k21 + k22 x) = a21 (k11 + k12 x) + a22 (k21 + k22 x).
    Пример 36. Рассмотрим систему
                                           (
                                               dy1
                                               dx     = 4y1 + y2 ,
                                               dy2
                                               dx     = −y1 + 2y2 .
Имеем
                                           4−λ   1
                                 P (λ) =             = λ2 − 6λ + 9.
                                            −1 2 − λ

Страницы