ВУЗ:
Рубрика:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31
и
d
2
y
′′
dx
2
+ 12
dy
′′
d
x
+ 37y
′′
= 5x
2
+ 2x. (78)
Из первого уравнения получаем
(C
0
+ 12C
0
+ 37C
0
)e
x
= e
c
,
т.е. C
0
=
1
50
, а из второго —
2C
3
+ 12(C
2
+ 2C
3
x) + 37(C
1
+ C
2
x + C
3
x
2
) = 5x
2
+ 2x,
т.е.
37C
3
= 5,
24C
3
+ 37C
2
= 2,
2C
3
+ 12C
2
+ 37C
1
= 0.
Отсюда следует, что
C
3
=
5
37
, C
2
= −
46
37
2
, C
1
=
182
37
3
.
Поскольку корни характеристического многочлена λ
2
+12λ+37 — это λ
1,2
= −6±i, общее решение
уравнения (78) имеет вид
y
1
= e
−6x
(C
1
cos x + C
2
sin x) +
1
50
e
x
+
182
37
3
−
46
37
2
x +
5
37
x
2
.
Выражение для y
2
получается подстановкой этого равенства в (77).
Пример 38. Рассмотрим систему из примера 35 и добавим в неё неоднородность:
(
dy
1
dx
= 2y
1
+ 2y
2
+ xe
3x
,
dy
2
dx
= 2y
1
− y
2
+ sin x.
Имеем
y
2
=
1
2
dy
1
dx
−y
1
−
1
2
xe
3x
. (79)
Подставив (79) во второе уравнение, получаем
d
2
y
1
dx
2
−
dy
1
dx
− 6y
2
= (1 + 4x)e
3x
+ 2 sin x. (80)
Значит, частное решение y
′
+ y
′′
, где
y
′
= x(C
0
+ C
1
x)e
3x
, y
′′
= C
2
cos x + C
3
sin x,
находится из условий
d
2
y
′
dx
2
−
dy
′
dx
− 6y
′
= (1 + 4x)e
3x
и
d
2
y
′′
dx
2
−
dy
′′
dx
− 6y
′′
= 2 sin x.
Из первого уравнения следует, что
5C
1
= 2, 2C
1
+ 6C
0
= 1,
т.е.
C
1
=
2
5
, C
0
=
1
30
.
Из второго уравнения получаем
(
7C
2
+ C
3
= 0,
C
2
− 7C
3
= 2.
Значит,
C
2
=
1
25
, C
3
= −
7
25
.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 31
и
d2 y ′′ dy ′′
+ 12 + 37y ′′ = 5x2 + 2x. (78)
dx2 dx
Из первого уравнения получаем
(C0 + 12C0 + 37C0 )ex = ec ,
1
т.е. C0 = 50 , а из второго —
2C3 + 12(C2 + 2C3 x) + 37(C1 + C2 x + C3 x2 ) = 5x2 + 2x,
т.е.
37C3 = 5,
24C3 + 37C2 = 2,
2C3 + 12C2 + 37C1 = 0.
Отсюда следует, что
5 46 182
C3 =, C2 = − 2 , C1 = 3 .
37 37 37
Поскольку корни характеристического многочлена λ2 +12λ+37 — это λ1,2 = −6±i, общее решение
уравнения (78) имеет вид
1 182 46 5
y1 = e−6x (C1 cos x + C2 sin x) + ex + 3 − 2 x + x2 .
50 37 37 37
Выражение для y2 получается подстановкой этого равенства в (77).
Пример 38. Рассмотрим систему из примера 35 и добавим в неё неоднородность:
(
dy1 3x
dx = 2y1 + 2y2 + xe ,
dy2
dx = 2y1 − y2 + sin x.
Имеем
1 dy1 1
− y1 − xe3x .
y2 = (79)
2 dx 2
Подставив (79) во второе уравнение, получаем
d2 y1 dy1
− − 6y2 = (1 + 4x)e3x + 2 sin x. (80)
dx2 dx
Значит, частное решение y ′ + y ′′ , где
y ′ = x(C0 + C1 x)e3x , y ′′ = C2 cos x + C3 sin x,
находится из условий
d2 y ′ dy ′
− − 6y ′ = (1 + 4x)e3x
dx2 dx
и
d2 y ′′ dy ′′
− − 6y ′′ = 2 sin x.
dx2 dx
Из первого уравнения следует, что
5C1 = 2, 2C1 + 6C0 = 1,
т.е.
2 1
C1 = , C0 = .
5 30
Из второго уравнения получаем (
7C2 + C3 = 0,
C2 − 7C3 = 2.
Значит,
1 7
C2 = , C3 = − .
25 25
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
