ВУЗ:
Рубрика:
34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Изображение F (p) Оригинал f(t)
1
1
p
1
2
a
p
2
+a
2
sin at
3
p
p
2
+a
2
cos at
4
1
p+α
e
−αt
5
α
p
2
−α
2
sh αt
6
p
p
2
−α
2
ch αt
7
a
(p+α)
2
+a
2
e
−at
sin αt
8
p+α
(p+α)
2
+a
2
e
−at
cos αt
9
n!
p
n+1
t
n
10
2pa
(p
2
+a
2
)
2
t sin at
11
p
2
−a
2
(p
2
+a
2
)
2
t cos at
12
1
(p+α)
2
te
−αt
13
1
(p
2
+a
2
)
2
1
2a
3
(sin at − at cos at)
14
n!
(p−α)
n+1
t
n
e
αt
15
π
2
−arctg
p
a
sin at
t
16
e
−α
√
p
√
p
1
√
πt
e
−
a
2
4t
17
1
√
p
e
−
√
p
sin
√
p
1
√
πt
sin
1
2t
18
1
√
p
e
−
√
p
cos
√
p
1
√
πt
cos
1
2t
Таблица 1. Таблица некоторых изображений и их оригиналов
Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f
′
(t), f
′′
(t), . . . , f
(n)
(t) являются ори-
гиналами, причём f (t) → F (p), то
f
′
(t) → pF (p) − f (0),
f
′′
(t) → p
2
F (p) − pf (0) − f
′
(0),
. . . . (85)
f
(n)
(t) → p
n
F (p) − p
n−1
f(0) − p
n−2
f
′
(0) − ··· − pf
(n−2)
(0) − f
(n−1)
(0),
где под f
(k)
(0), k = 1, 2, . . . , n − 1, понимается lim
t→0+
f
(k)
(t).
Пример 42. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найдём изображение функ-
ции
f(t) = sin
2
t.
Пусть f (t) → F (p). Тогда f
′
(t) → pF (p) −f (0). Учитывая, что
f(0) = 0, f
′
(t) = 2 sin t cos t = sin 2t
(см. табл. 1), находим
sin 2t →
2
p
2
+ 4
.
Следовательно,
2
p
2
+ 4
= pF (p), F (p) =
2
p(p
2
+ 4)
.
В результате получаем
sin
2
t →
2
p(p
2
+ 4)
.
34 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Изображение F (p) Оригинал f (t)
1
1 p 1
a
2 p +a2
2 sin at
p
3 p2 +a2 cos at
1
4 p+α e−αt
α
5 p2 −α2
sh αt
p
6 p2 −α2
ch αt
a −at
7 (p+α)2 +a2
e sin αt
p+α −at
8 (p+α)2 +a2
e cos αt
n!
9 pn+1
tn
2pa
10 (p2 +a2 )2
t sin at
p −a2
2
11 (p2 +a2 )2
t cos at
1
12 (p+α)2
te−αt
1 1
13 (p2 +a2 )2 2a3 (sin at − at cos at)
n!
14 (p−α)n+1
tn eαt
π p sin at
15 2 − arctg a t
a2
√
e−α p 1
16 √ √ e− 4t
p πt
√ √
17 √1 e− p sin p √1 sin 1
p √ πt 2t
√
18 √1 e− p cos p √1 cos 1
p πt 2t
Таблица 1. Таблица некоторых изображений и их оригиналов
Дифференцирование оригинала. Если функции f (t), f ′ (t), f ′′ (t), . . . , f (n) (t) являются ори-
гиналами, причём f (t) → F (p), то
f ′ (t) → pF (p) − f (0),
f ′′ (t) → p2 F (p) − pf (0) − f ′ (0),
.... (85)
f (n) (t) → pn F (p) − pn−1 f (0) − pn−2 f ′ (0) − · · · − pf (n−2) (0) − f (n−1) (0),
где под f (k)(0), k = 1, 2, . . . , n − 1, понимается lim f (k) (t).
t→0+
Пример 42. Пользуясь теоремой о дифференцировании оригинала, найдём изображение функ-
ции
f (t) = sin2 t.
Пусть f (t) → F (p). Тогда f ′ (t) → pF (p) − f (0). Учитывая, что
f (0) = 0, f ′ (t) = 2 sin t cos t = sin 2t
(см. табл. 1), находим
2
sin 2t → .
p2 +4
Следовательно,
2 2
= pF (p), F (p) = .
p2 +4 p(p2 + 4)
В результате получаем
2
sin2 t → .
p(p2 + 4)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
