Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

4
1. Простейшие квадратурные формулы
Предположим, что нужно вычислить приближенно определенный
интеграл от некоторой положительной непрерывной функции f(x) на
отрезке [a,b]. Простое приближенное выражение интеграла пред-
ставляет собой величину площади прямоугольника, основанием ко-
торого служит отрезок [a,b], а высотой – ордината
2
)( bа
f
+
графика
функции f(x) в средней точке
2
)( bа +
этого отрезка (рис. 1). Таким
образом, получаем квадратурную формулу
.
2
)()(
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−≈
в
а
ba
fabdxxf
(1)
Формула имеет смысл для лю-
бой непрерывной функции.
Это простейшая квадратурная
формула прямоугольников. Более
сложной является формула трапе-
ций. В случае положительной
функции f(x) она сводится к тому,
что определенный интеграл заме-
няется числом, равным площади
трапеции, сторонами которой яв-
ляются отрезок [a,b] оси Ох, от-
резки прямых
x = a и x = b и хор-
да АВ графика функции (рис. 2).
Таким образом, квадратурная
формула трапеций представляет
собой следующее приближенное
выражение:
[]
)()()(
2
1
)( bfafabdxxf
a
b
+−≈
∫
, (2)
оно имеет смысл для произволь-
ной непрерывной функции.
Рис.1
Рис. 2 
        1. Простейшие квадратурные формулы
   Предположим, что нужно вычислить приближенно определенный
интеграл от некоторой положительной непрерывной функции f(x) на
отрезке [a,b]. Простое приближенное выражение интеграла пред-
ставляет собой величину площади прямоугольника, основанием ко-
                                                         ( а + b)
торого служит отрезок [a,b], а высотой – ордината f               графика
                                                             2
                                 ( а + b)
функции f(x) в средней точке               этого отрезка (рис. 1). Таким
                                     2
образом, получаем квадратурную формулу
                     в
                                             ⎛a+b⎞
                     ∫ f ( x)dx ≈ (b − a) f ⎜⎝ 2 ⎟⎠.                   (1)
                     а
                                          Формула имеет смысл для лю-
                                      бой непрерывной функции.
                                          Это простейшая квадратурная
                                      формула прямоугольников. Более
                                      сложной является формула трапе-
                                      ций. В случае положительной
                                      функции f(x) она сводится к тому,
                                      что определенный интеграл заме-
              Рис.1                   няется числом, равным площади
                                      трапеции, сторонами которой яв-
ляются отрезок [a,b] оси Ох, от-
резки прямых x = a и x = b и хор-
да АВ графика функции (рис. 2).
   Таким образом, квадратурная
формула трапеций представляет
собой следующее приближенное
выражение:
a
             1
∫ f ( x)dx ≈ 2 (b − a)[ f (a) + f (b)] ,   (2)
b

оно имеет смысл для произволь-
                                                     Рис. 2
ной непрерывной функции.


                                             4

Страницы