Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 5 стр.

   На практике широко рас-
пространена квадратурная фор-
мула Симпсона. Она сводится к
тому, что определенный инте-
грал приближенно выражается
площадью фигуры, ограничен-
ной отрезком [a,b] оси Ох, пря-
мыми x = a, x = b и параболой
второй степени, проходящей
через точки графика функ-
ции f(x), имеющие абсциссы а,
⎛a+b⎞                                                     Рис. 3
⎜      ⎟ и b (рис. 3).
⎝ 2 ⎠
   Эта формула имеет следующий вид:
            b
                           b−a⎡             ⎛a +b⎞        ⎤
            ∫ f ( x)dx ≈      ⎢
                            6 ⎣
                                f (a) + 4 f ⎜
                                            ⎝ 2 ⎠
                                                 ⎟ + f (b)⎥.
                                                          ⎦
                                                                   (3)
            a

   Из способа получения формулы Симпсона непосредственно сле-
дует, что она точна для всех многочленов второй степени
                       P2 ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 .              (4)
   Графики этих многочленов представляют собой всевозмож-
ные параболы второй степени, оси симметрии которых параллельны
оси Oy. Известно, что формула Симпсона точна не только для много-
членов второй степени, но и для всех многочленов третьей степени.
   Можно построить бесчисленное множество квадратурных фор-
мул, точных для всех многочленов:
                 Pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + am x m
любой наперед заданной степени m. Для получения таких многочле-
нов могут использоваться классические интерполяционные много-
члены Лагранжа.
   Зададим на отрезке [a,b] произвольную систему из m + 1 точек:
                           a ≤ x0 < x1 < ... < xm ≤ b ,




                                        5