Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

7
нов степени m. В качестве приближенного выражения определенного
интеграла от функции f(x) на отрезке [a,b] можно взять определен-
ный интеграл на этом отрезке от интерполирующего функцию f(x)
многочлена P
m
(x). В результате получим
∫∫
∑
∫
=
=≈
b
a
b
a
m
k
b
a
k
mkm
dxxQxfdxxPdxxf
0
)(
)()()()(
или
∫
∑
=
≈
b
a
m
k
kk
xfpdxxf
0
)()( , (5)
где
∫
=
b
a
k
mk
dxxQp ,)(
)(
k = 0, 1, ..., m. (6)
Приближенное равенство (5) определяет некоторую квадратурную
формулу, точную для многочленов степени m.
Формула (5), точная для многочленов степени m, если она соот-
ветствует узлам
k
m
ab
ax
k
−
+=
(k = 0, 1, ..., m), делящим отрезок
[a,b] на равные части, называется квадратурной формулой Котеса.
Условимся всякое выражение вида
∑
−
=
=
1
0
),()(
m
k
kk
xfpfL
(7)
где p
k
– произвольные числа; x
k
– произвольные точки, принадлежа-
щие отрезку [a,b], считать приближенным выражением определенно-
го интеграла функции f(x) на отрезке [a,b].
Приближенное равенство
∫
≈
b
a
fLdxxf )()( (8)
будем называть квадратурной формулой, определяемой весами p
k
и узлами x
k
. 
нов степени m. В качестве приближенного выражения определенного
интеграла от функции f(x) на отрезке [a,b] можно взять определен-
ный интеграл на этом отрезке от интерполирующего функцию f(x)
многочлена Pm(x). В результате получим
              b               b                     m      b

              ∫   f ( x)dx ≈ ∫ Pm ( x)dx = ∑ f ( xk ) ∫ Qm( k ) ( x)dx
              a               a                 k =0       a
или
                              b                 m

                              ∫   f ( x)dx ≈ ∑ p k f ( xk ) ,            (5)
                              a              k =0

где
                          b
                    pk = ∫ Qm( k ) ( x)dx, k = 0, 1, ..., m.             (6)
                          a
   Приближенное равенство (5) определяет некоторую квадратурную
формулу, точную для многочленов степени m.
   Формула (5), точная для многочленов степени m, если она соот-
                          b−a
ветствует узлам xk = a +       k (k = 0, 1, ..., m), делящим отрезок
                           m
[a,b] на равные части, называется квадратурной формулой Котеса.
   Условимся всякое выражение вида
                                             m −1
                                    L( f ) = ∑ pk f ( xk ),              (7)
                                             k =0

где pk – произвольные числа; xk – произвольные точки, принадлежа-
щие отрезку [a,b], считать приближенным выражением определенно-
го интеграла функции f(x) на отрезке [a,b].
   Приближенное равенство
                                     b

                                     ∫ f ( x)dx ≈ L( f )                 (8)
                                     a

будем называть квадратурной формулой, определяемой весами pk
и узлами xk .




                                            7

Страницы