Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

6
которые называются узлами. Поставим задачу: требуется построить
многочлен P
m
(x) степени m, совпадающий с заданной функцией f(x)
в этих точках. Требуется, чтобы выполнялись равенства
),()(
kmk
xPxf
=
k = 0, 1, ..., m.
Искомый многочлен – многочлен Лагранжа – является единст-
венным и выражается следующей формулой:
∑
=
=
m
k
k
k
mm
xfxQxP
0
)(
)()()(
,
где
)(k
m
Q – многочлен степени m:
,
))...()()...()((
))...()()...()((
)(
1110
1110
)(
mkkkkkkk
mkk
k
m
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xQ
−−−−−
−
−
−
−
−
=
+−
+−
k = 0, 1, ..., m.
На рис. 4 схематически изображены графики функции f(x) и ее
интерполяционного многочлена Лагранжа четвертой степени, совпа-
дающего с f(x) в пяти равностоящих точках отрезка [a,b].
Рис. 4
Интерполяционным многочленом Лагранжа можно воспользо-
ваться для получения квадратурной формулы, точной для многочле-
которые называются узлами. Поставим задачу: требуется построить
многочлен Pm(x) степени m, совпадающий с заданной функцией f(x)
в этих точках. Требуется, чтобы выполнялись равенства
                    f ( xk ) = Pm ( xk ), k = 0, 1, ..., m.
   Искомый многочлен – многочлен Лагранжа – является единст-
венным и выражается следующей формулой:
                                                    m
                                        Pm ( x) = ∑ Qm( k ) ( x) f ( xk ) ,
                                                   k =0

где   Qm(k )   – многочлен степени m:
                             ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xk −1 )( x − xk +1 )...( x − xm )
        Qm( k ) ( x) =                                                                       ,
                         ( xk − x0 )( xk − x1 )...( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )...( xk − xm )
   k = 0, 1, ..., m.
   На рис. 4 схематически изображены графики функции f(x) и ее
интерполяционного многочлена Лагранжа четвертой степени, совпа-
дающего с f(x) в пяти равностоящих точках отрезка [a,b].




                                                 Рис. 4

   Интерполяционным многочленом Лагранжа можно воспользо-
ваться для получения квадратурной формулы, точной для многочле-


                                                    6

Страницы