Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

8
2. Классы функций
Введем класс функций, который обозначим W
(1)
(M;a,b), непре-
рывных на некотором отрезке [a,b] и имеющих на нем кусочно-
непрерывную производную f '(x), удовлетворяющую на этом отрезке
неравенству:
|f '(x)|
M
≤
.
Более хорошими дифференциальными свойствами обладает класс
W
(2)
(M;a,b) функций, непрерывных на отрезке вместе со своими пер-
выми производными и имеющих на нем вторую кусочно-непрерыв-
ную производную, удовлетворяющую неравенству:
|f ''(x)|
M
≤
.
Обобщая эти классы, приходим к классу W
(r)
(M;a,b), где r – нату-
ральное число. Класс W
(r)
(M;a,b) состоит из функций, заданных на
отрезке [a,b], непрерывных и имеющих непрерывные производные
до r–1 порядка включительно и кусочно-непрерывную r-го порядка,
удовлетворяющую на этом отрезке неравенству:
|f
(r)
(x)|
M
≤
. (1)
Можно ввести промежуточные классы. Например, если 10 ≤α< ,
то будем считать, что ),;(),;(
)0(
baMHWbaMH
αα
= обозначает
класс функций f(x), заданных на отрезке [a,b] и удовлетворяющих
для всех точек х и х' этого отрезка неравенству
α
′
−≤
′
− xxMxfxf )()(
.
Если r – целое неотрицательное число и 0 <
1
≤
α
, можно опреде-
лить класс );;(
)()(
baMHW
r α
для функций f(x), заданных на отрезке
[a,b], имеющих на нем непрерывные производные порядка r, удовле-
творяющие для всех х и х' из [a,b] неравенству
α
′
−≤
′
− xxMxfxf
rr
)()(
)()(
.
Введенные таким образом классы ),(
)()(
baHW
r α
составляют
весьма детальную классификацию непрерывных и дифференцируе-
мых функций. При увеличении
α
+
r
дифференциальные свойства 
                      2. Классы функций
    Введем класс функций, который обозначим W(1)(M;a,b), непре-
рывных на некотором отрезке [a,b] и имеющих на нем кусочно-
непрерывную производную f '(x), удовлетворяющую на этом отрезке
неравенству:
                              |f '(x)| ≤ M .
    Более хорошими дифференциальными свойствами обладает класс
  (2)
W (M;a,b) функций, непрерывных на отрезке вместе со своими пер-
выми производными и имеющих на нем вторую кусочно-непрерыв-
ную производную, удовлетворяющую неравенству:
                              |f ''(x)| ≤ M .
    Обобщая эти классы, приходим к классу W(r)(M;a,b), где r – нату-
ральное число. Класс W(r)(M;a,b) состоит из функций, заданных на
отрезке [a,b], непрерывных и имеющих непрерывные производные
до r–1 порядка включительно и кусочно-непрерывную r-го порядка,
удовлетворяющую на этом отрезке неравенству:
                                 |f (r)(x)| ≤ M .                      (1)
    Можно ввести промежуточные классы. Например, если 0 < α ≤ 1 ,
то будем считать, что H α ( M ; a, b) = W ( 0 ) H α ( M ; a, b) обозначает
класс функций f(x), заданных на отрезке [a,b] и удовлетворяющих
для всех точек х и х' этого отрезка неравенству
                                                         α
                          f ( x) − f ( x′) ≤ M x − x′
                                                      .
   Если r – целое неотрицательное число и 0 < α ≤ 1 , можно опреде-
лить класс W ( r ) H ( α ) ( M ; a; b) для функций f(x), заданных на отрезке
[a,b], имеющих на нем непрерывные производные порядка r, удовле-
творяющие для всех х и х' из [a,b] неравенству
                                                              α
                        f ( r ) ( x) − f ( r ) ( x′) ≤ M x − x′ .

   Введенные таким образом классы W ( r ) H ( α ) (a, b) составляют
весьма детальную классификацию непрерывных и дифференцируе-
мых функций. При увеличении r + α дифференциальные свойства



                                         8

Страницы