Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 9 стр.

функций,                     принадлежащих               W ( r ) H ( α ) ( a, b) ,          улучшаются.     Если
                                                             ( r2 )       (α2 )
r1 + α1 < r2 + α 2 ,                    то     класс     W            H           ( a, b)   есть   часть   класса
    ( r1 )       ( α1 )
W            H            ( a, b) .
  Существует обобщение классов W ( r ) H ( α ) (a, b) . Вводится в рас-
смотрение непрерывная на отрезке [a,b] функцияи ω(x) , удовлетво-
ряющая условиям:
                 ω ( x) = 0, 0 ≤ ω ( x2 ) − ω ( x1 ) ≤ ω ( x2 − x1 ) (2)
для всех х1, х2, для которых a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b . Функция f(x), заданная на
отрезке [a,b], по определению принадлежит классу W ( r ) H ω (a, b) , ес-
ли она имеет на этом отрезке производную f(r)(x) порядка r, удовле-
творяющую неравенству:
                                f ( r ) ( x2 ) − f ( r ) ( x1 ) ≤ ω ( x2 − x1 ), a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b .            (3)

     Класс W ( r ) H ( α ) ( M ; a, b) совпадает с классом W ( r ) H w (a, b) , если
ω ( x) = Mx α .
   Если на отрезке [a,b] задана произвольная непрерывная функция
ϕ (х), то модулем ее непрерывности на отрезке [a,b], соответствую-
щим данному положительному числу δ , называется величина ω (δ) ,
определяемая с помощью равенства:

                                               ω (δ) = max ϕ ( x′′) − ϕ ( x′) ,
                                                         x′′− x′ <δ

где a ≤ x′, x′′ ≤ b.
   Таким образом, ω (δ) есть наибольшее среди чисел ϕ( x′′) − ϕ( x′) ,
соответствующих различным парам точек x′ и x′′ отрезка [a,b],
удовлетворяющим неравенству x′′ − x′ ≤ δ ; ω (δ) также есть моно-
тонно неубывающая функция от δ , так как если 0 ≤ δ′ < δ′′ , то
                  ω(δ′) = max ϕ( x′′) − ϕ( x′) ≤ max ϕ( x′′) − ϕ( x′) = ω(δ′′).
                                  x′′− x′ <δ                      x′′− x′ <δ′′




                                                              9