Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

11
)(
)!1(
)(
)()(
)!2(
1
|)(
)!1(
)(
)()(
)!1(
1
)1(
1
)1(2
)1(
1
0
)(1
af
r
ax
dttftx
r
tf
r
tx
dttftx
r
r
r
x
a
rr
x
a
r
r
x
rr
+
−
−
−=−
−
+
+
−
−
=−
−
−
−
−−
−
−
−
∫
∫
).()(...)(
)!2(
)(
)(
)!1(
)(
...)()(
)!3(
1
|)(
)!2(
)(
)2(
2
)1(
1
)2(3)2(
2
xfafaf
r
ax
af
r
ax
dttftx
r
tf
r
tx
r
r
r
r
x
a
rrxt
at
r
r
+−−
−
−
−
−
−
−=
==−
−
+
−
−
+
−
−
−
−
−−=
=
−
−
∫
Отсюда получаем, что для всякой функции f(x) класса
),;(
)(
baMW
r
справедлива формула Тейлора:
+
′′
−
+
′
−
+= )(
!2
)(
)(
!1
)()(
2
af
ax
af
ax
afxf
)()(
)!1(
)(
...
)1(
1
xRaf
r
ax
r
r
r
+
−
−
++
−
−
(1)
с остаточным членом в интегральной форме
.)()(
)!1(
1
)(1
∫
−
−
−
=
x
a
rr
r
dttftx
r
R (2)
Введем функцию )(uK
r
, определяемую с помощью равенств:
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
−
.0,0
;0,
)(
1
u
uu
uK
r
r
(3)
Тогда выражение для остаточного члена R
r
(x) можно записать в
виде
.)()(
)!1(
1
)(
)(
∫
−
−
=
b
a
r
rr
dttftxK
r
xR (4)
Обозначим через ),;(
)(
dcMW
r
a
класс функций f
∈
),;(
)(
dcMW
r
,
удовлетворяющих условиям:
0)(...)()(
)1(
===
′
=
−
afafaf
r
. 
                                                  ( x − t ) r −1 ( r −1)
                 x
          1
                ∫
      ( r − 1)! 0
                  ( x − t ) r −1 f ( r ) (t )dt =
                                                    (r − 1)!
                                                                f        (t ) |ax +

                                                         ( x − a) r −1 ( r −1)
                     x
             1
      +            ∫
          (r − 2)! a
                     ( x − t ) r −2 f ( r −1) (t )dt = −
                                                           (r − 1)!
                                                                      f        (a) +

          ( x − t ) r −2 ( r −2) t = x
                                                              x
                                                1
      +
            ( r − 2)!
                        f       (t ) |t =a +          ∫
                                             (r − 3)! a
                                                        ( x − t ) r −3 f ( r −2) (t )dt = ... =

        ( x − a ) r −1 ( r −1)       ( x − a) r −2 ( r −2)
      =−              f        (a) −              f        (a ) − ... − f ( a) + f ( x).
          ( r − 1)!                    (r − 2)!
  Отсюда получаем, что для всякой функции f(x) класса
 (r )
W ( M ; a, b) справедлива формула Тейлора:
                                              x−a           ( x − a) 2
                     f ( x) = f (a) +             f ′(a ) +            f ′′(a ) +
                                               1!               2!
                                        ( x − a) r −1 ( r −1)
                             + ... +                 f        (a ) + Rr ( x)                               (1)
                                          (r − 1)!
с остаточным членом в интегральной форме
                                                     x
                                        1
                                     (r − 1)! ∫a
                             Rr =                ( x − t ) r −1 f ( r ) (t )dt.                            (2)

   Введем функцию K r (u ) , определяемую с помощью равенств:
                                 ⎧ u r −1 , u ≥ 0;
                      K r (u ) = ⎨                          (3)
                                 ⎩ 0, u < 0.
   Тогда выражение для остаточного члена Rr(x) можно записать в
виде
                                                         b
                                                 1
                                              (r − 1)! ∫a
                             Rr ( x) =                    K r ( x − t ) f ( r ) (t ) dt.                   (4)

                                       (r )                                                (r )
   Обозначим через Wa ( M ; c, d ) класс функций f∈ W                                             ( M ; c, d ) ,
удовлетворяющих условиям:
                              f ( a) = f ′( a) = ... = f ( r −1) (a) = 0 .


                                                         11

Страницы