Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 12 стр.

  Очевидно, что для f ∈Wa( r ) ( M ; a, b)
                                                  b
                                           1
                 f ( x) = Rr ( x) =              ∫
                                        (r − 1)! a
                                                   K r ( x − t ) f ( r ) (t ) dt.   (5)


            4. Точная оценка приближения
                квадратурной формулы
  Рассмотрим произвольную квадратурную формулу
                                  b

                                  ∫ f ( x)dx ≈ L( x),                               (1)
                                  a
                                           m −1
                                L( f ) = ∑ pk f ( xk ),                             (2)
                                           k =0

определяемую заданными весами pk (k = 0, 1, …, m–1) и узлами
a ≤ x0 < x1 < ... < xm−1 ≤ b. Предположим, что эта формула точна для
всех многочленов
                     Pr −1 ( x) = a0 + a1 x + ... + ar −1 x r −1
степени r–1 (r ≥ 1), т. е. для всех таких многочленов выполняется ра-
венство
                            b

                            ∫ Pr −1 ( x)dx = L( Pr −1 ).
                            a

   Получим точное выражение для оценки приближения с помощью
этой квадратурной формулы для функций класса W ( r ) ( M ; a, b).
   Зададим произвольную функцию f(x), принадлежащую классу
  (r )
W ( M ; a, b) . Она определена на отрезке [a,b], имеет на нем непре-
рывные производные до порядка r–1 включительно и кусочно-
непрерывную производную f(r)(x) порядка r, удовлетворяющую нера-
венству:
                                      f ( r ) ( x) ≤ M .                            (3)




                                            12