Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 10 стр.

   Из непрерывности ϕ( x) на замкнутом отрезке [a,b] следует свой-
ство ее равномерной непрерывности на [a,b], которое эквивалентно
соотношению
                        lim ω(δ) = 0 = ω(0).                   (4)
                             δ→0

   Далее, если δ = δ1 + δ 2 , где δ1 ≥ 0 , δ 2 ≥ 0 и если x′, x′′ – точки от-
резка [a,b], для которых x′′ − x′ ≤ δ , то, очевидно, на отрезке [a,b]
найдется такая точка х0, что для нее одновременно выполняются не-
равенства x′ − x0 ≤ δ1 , x′′ − x0 ≤ δ 2 . Отсюда следует
  ω(δ) = max ϕ( x′′) − ϕ( x′) ≤ max { ϕ( x′) − ϕ( x0 ) + ϕ( x′′) − ϕ( x0 ) } ≤
            x′′− x′ ≤δ             x′− x0 ≤δ1
                                    x ′′ − x0 ≤ δ 2


   ≤ max ϕ( x′) − ϕ ( x0 ) + max ϕ( x′′) − ϕ( x0 ) = ω (δ1 ) + ω ( δ 2 ) .   (5)
     x′− x0 ≤δ1                x′′− x0 ≤δ2

   Свойство монотонноcти функции ω ( δ ) и соотношение (5) можно
объединить в следующие два условия:
                    0 ≤ ω (δ′′) − ω (δ′) ≤ ω (δ′′ − δ′),      (6)
которые должны иметь место для любых δ′, δ′′ , удовлетворяющих
неравенствам 0 ≤ δ′ ≤ δ′′ .
   Из формул (4) и (6) следует непрерывность ω ( δ ) для всех δ ≥ 0.

                         3. Формула Тейлора
   Рассмотрим функцию f(x), определенную на отрезке [a,b], имею-
щую на нем непрерывные производные до r–1-го порядка включи-
тельно и кусочно-непрерывную производную порядка r.
   Таким образом, функция f(x) принадлежит классу W ( r ) ( M ; a, b) с
некоторой постоянной М.
   Для такой функции с помощью последовательного применения
метода интегрирования по частям получим следующее равенство:




                                               10