Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

13
Разложим функцию f(x) по степеням x–a (
bxa
≤
≤
) с остаточным
членом
)(xR
r
)()()(
1
xRxPxf
rr
+
=
−
,
∑
−
=
−
−
=
1
0
)(
1
),(
!
)(
)(
r
k
k
k
r
af
k
ax
xP (4)
.)()(
)!1(
1
)(
)(
∫
−
−
=
b
a
r
rr
dttftxK
r
xR
В силу того, что наша квадратурная формула точна для многочле-
нов степени r–1, имеем:
Если ввести в рассмотрение функцию
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
∑
−
=
1
0
)(
)(
)!1(
1
)(
m
k
krk
r
r
txKp
r
tb
r
tF , (6)
то получим следующее точное выражение погрешности приближе-
ния рассматриваемой квадратурной формулы для данной функ-
ции f(x) класса ),;(
)(
baMW
r
:
∫∫
=−
b
a
b
a
r
r
dttftFfLdxxf )()()()(
)(
. (7)
Отметим, что функция F
r
(t) не зависит от отдельных функций f
класса ),;(
)(
baMW
r
и не зависит от M.
)5(.)()(
)(
)!1(
1
)()(
)!1(
1
)()(
)!1(
1
)()()()(
)()()()(
)(
1
0
1
0
)()(
11
dttftxKp
r
tb
r
dttftxKp
r
dtdxtftxK
r
RLdxxRRLdxxR
PLdxxPfLdxxf
r
b
a
m
k
krk
r
b
a
m
k
b
a
r
krk
b
a
r
r
b
a
rr
b
a
rr
b
a
rr
b
a
∫
∑
∫
∑
∫∫
∫∫
∫∫
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
=
=−
−
−−
−
=
=−=−+
+−=−
−
=
−
=
−−
   Разложим функцию f(x) по степеням x–a ( a ≤ x ≤ b ) с остаточным
членом Rr ( x)
                                      f ( x) = Pr −1 ( x) + Rr ( x) ,
                                               r −1
                                                    ( x − a) k ( k )
                                 Pr −1 ( x) = ∑                f ( a),                            (4)
                                               k =0     k!
                                                       b
                                               1
                                            (r − 1)! ∫a
                                Rr ( x) =               K r ( x − t ) f ( r ) (t ) dt.

   В силу того, что наша квадратурная формула точна для многочле-
нов степени r–1, имеем:
b                           b

∫   f ( x ) dx − L ( f ) = ∫ Pr −1 ( x ) dx − L ( Pr −1 ) +
a                           a
    b                             b
+ ∫ Rr ( x ) dx − L ( Rr ) = ∫ Rr ( x ) dx − L ( Rr ) =
    a                             a
              b b                                                          b
        1                                                 1 m −1
=
    ( r − 1)! ∫a ∫a
                    K r ( x − t ) f (r )
                                         ( t ) dtdx −           ∑ pk K r ( xk − t ) f ( r ) (t )dt =
                                                      ( r − 1)! k =0 ∫a
        1
              b
                ⎡ (b − t ) r m −1                  ⎤
=             ∫ ⎢           − ∑ p k K r ( xk − t ) ⎥ f ( r ) (t ) dt .                             (5)
    ( r − 1)! a ⎣ r           k =0                 ⎦
     Если ввести в рассмотрение функцию
                              1 ⎡ (b − t ) r m−1                   ⎤
                     Fr (t ) =      ⎢       − ∑ p k K r ( xk − t ) ⎥ , (6)
                          (r − 1)! ⎣ r        k =0                 ⎦
то получим следующее точное выражение погрешности приближе-
ния рассматриваемой квадратурной формулы для данной функ-
ции f(x) класса W ( r ) ( M ; a, b) :
                            b                              b

                            ∫   f ( x)dx − L ( f ) = ∫ Fr (t ) f ( r ) (t )dt .                   (7)
                            a                              a

   Отметим, что функция Fr(t) не зависит от отдельных функций f
класса W ( r ) ( M ; a, b) и не зависит от M.


                                                      13

Страницы