Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
Формула прямоугольников.
Для этой формулы m = 1, p
0
= 1,
x
0
= 1/2. Она точна для линейных функций – многочленов первой сте-
пени. Поэтому r = 1,2.
Для нее
∫∫∫
=−+−−=−−−=
1
2/1
2/1
0
1
0
11
,
4
1
)1(1)1()
2
1
()1( dttdttdttKtc
∫∫
=
−
+−−
−
=
2/1
0
1
2/1
22
2
.
24
1
2
)1(
)
2
1
(
2
)1(
dt
t
dtt
t
c
Формула трапеций.
В этом случае m = 2, p
0
= p
1
= 1/2, x
0
= 0,
x
1
= 1. Формула точна для многочленов первой степени, поэтому
r = 1,2, а коэффициенты квадратурной формулы определяются сле-
дующим образом:
∫
=−−−−−=
1
0
111
,
4
1
)1(
2
1
)(
2
1
)1( dttKtKtс
.
12
1
)1(
2
1
)(
2
1
2
)1(
1
0
22
2
2
=−−−−
−
=
∫
dttKtK
t
c
Формула Симпсона.
Для этой формулы m = 3, p
0
= p
2
= 1/6,
p
1
= 2/3, x
0
= 0, x
1
= 1/2, x
2
= 1. Вычисления показывают, что
c
1
= 5/36, c
2
= 1/81, c
3
= 1/576, c
4
= 1/2880.
Формула Котеса.
Если построить квадратурную формулу с че-
тырьмя равностоящими узлами (k = 0, 1, 2, 3), то p
0
= p
3
= 1/8,
p
1
= p
2
= 3/8, x
k
= k/3. Она точна для всех многочленов третьей степе-
ни и поэтому для нее существуют постоянные c
k
при k = 1, 2, 3, 4,
c
4
= 1/6480. Формула Котеса с пятью узлами (k = 0, 1, 2, 3, 4) имеет
следующие веса:
p
0
= p
3
= 7/90, p
1
= p
3
= 32/90, p
2
= 12/90, x
k
= k/4.
Она точная для многочленов пятой степени. Для нее c
5
= 1/345600,
c
6
= 1/193560 ≈ 517∗10
–9
. 
    Формула прямоугольников. Для этой формулы m = 1, p0 = 1,
x0 = 1/2. Она точна для линейных функций – многочленов первой сте-
пени. Поэтому r = 1,2.
    Для нее
             1                                1/ 2                  1
                              1                                                   1
        c1 = ∫ (1 − t ) − K1 ( − t ) dt =      ∫ (1 − t ) − 1 dt + ∫ (1 − t )dt = 4 ,
             0
                              2                0                   1/ 2

                    1/ 2           2                 1         2
                             (1 − t )    1               (1 − t )     1
             c2 =    ∫           2
                                      − ( − t ) dt + ∫
                                         2                   2
                                                                  dt = .
                                                                      24
                     0                              1/ 2

   Формула трапеций. В этом случае m = 2, p0 = p1 = 1/2, x0 = 0,
x1 = 1. Формула точна для многочленов первой степени, поэтому
r = 1,2, а коэффициенты квадратурной формулы определяются сле-
дующим образом:
                         1
                                       1           1                1
                 с1 = ∫ (1 − t ) −       K1 (−t ) − K1 (1 − t ) dt = ,
                         0
                                       2           2                4
                     1
                           (1 − t ) 2 1           1                  1
              c2 = ∫                 − K 2 (−t ) − K 2 (1 − t ) dt = .
                     0
                               2      2           2                 12
    Формула Симпсона. Для этой формулы m = 3, p0 = p2 = 1/6,
p1 = 2/3, x0 = 0, x1 = 1/2, x2 = 1. Вычисления показывают, что
c1 = 5/36, c2 = 1/81, c3 = 1/576, c4 = 1/2880.
    Формула Котеса. Если построить квадратурную формулу с че-
тырьмя равностоящими узлами (k = 0, 1, 2, 3), то p0 = p3 = 1/8,
p1 = p2 = 3/8, xk = k/3. Она точна для всех многочленов третьей степе-
ни и поэтому для нее существуют постоянные ck при k = 1, 2, 3, 4,
c4 = 1/6480. Формула Котеса с пятью узлами (k = 0, 1, 2, 3, 4) имеет
следующие веса:
             p0 = p3 = 7/90, p1 = p3 = 32/90, p2 = 12/90, xk = k/4.
    Она точная для многочленов пятой степени. Для нее c5 = 1/345600,
c6 = 1/193560 ≈ 517∗10–9.




                                             15

Страницы