Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
обычно поступают следующим образом: выбирают квадратурную
формулу, представленную здесь выражением (4), делят отрезок [a,b]
на n равных частей точками:
,k
n
ab
a
k
−
+=ξ
(6)
и к каждому отдельному частичному интервалу (
1
,
+
ξ
ξ
kk
) (k = 0, 1, …,
n–1) применяют эту квадратурную формулу. В результате можно по-
лучить
);,()(
1
1
fLdxxf
kk
k
k
+
ξ
ξ
ξξ≈
∫
+
.
Таким образом, исходя из квадратурной формулы (4), которую
будем называть канонической
, получаем усложненную квадратур-
ную формулу
∫
∑
−
=
+
ξξ≈
b
a
n
k
kk
fLdxxf
1
0
1
);,()( . (7)
Например, усложненная квадратурная формула прямоугольников
выглядит так:
,)()(
1
0
∫
∑
−
=
′
−
≈
b
a
n
k
k
xf
n
ab
dxxf
где
,
2
))(12(
n
abk
ax
k
−+
+=
′
k = 0, 1, …, n–1.
Усложненная квадратурная формула трапеций имеет вид
[]
∫
ξ+ξ++ξ+ξ+ξ
−
≈
−
b
a
nn
fffff
n
ab
dxxf )()(2...)(2)(2)(
2
)(
1210
,
где числа
k
ξ
определяются равенствами (6).
Усложненная формула Симпсона имеет вид:
{}
∫
++++++
−
≈
−
b
a
nn
xfxfxfxfxfxf
n
ab
dxxf )()(4...)(4)(2)(4)(
6
)(
2123210
, 
обычно поступают следующим образом: выбирают квадратурную
формулу, представленную здесь выражением (4), делят отрезок [a,b]
на n равных частей точками:
                                                            b−a
                                               ξk = a +         k,                                   (6)
                                                             n
и к каждому отдельному частичному интервалу ( ξ k , ξ k +1 ) (k = 0, 1, …,
n–1) применяют эту квадратурную формулу. В результате можно по-
лучить
                                   ξ k +1

                                     ∫ f ( x)dx ≈ L(ξ k , ξ k +1; f ) .
                                    ξk

   Таким образом, исходя из квадратурной формулы (4), которую
будем называть канонической, получаем усложненную квадратур-
ную формулу
                                    b                n −1

                                   ∫     f ( x)dx ≈ ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) .                         (7)
                                    a                k =0

  Например, усложненная квадратурная формула прямоугольников
выглядит так:
                                 b
                                                     b − a n−1
                                 ∫      f ( x)dx ≈         ∑ f ( xk′ ),
                                                       n k =0
                                 a

где
                      (2k + 1)(b − a )
                       x′k = a +       , k = 0, 1, …, n–1.
                            2n
    Усложненная квадратурная формула трапеций имеет вид
      b
                     b−a
      ∫ f ( x)dx ≈       [ f (ξ 0 ) + 2 f (ξ1 ) + 2 f (ξ 2 ) + ... + 2 f (ξ n−1 ) + f (ξ n )] ,
      a
                      2n
где числа ξ k определяются равенствами (6).
    Усложненная формула Симпсона имеет вид:
b
               b−a
∫ f ( x)dx ≈       { f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) + 4 f ( x3 ) + ... + 4 f ( x2n−1 ) + f ( x2n )} ,
a
                6n


                                                     17

Страницы