Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

19
∫
∑∑
∫
−
=
−
=
ξ
ξ
++
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ξξ−=ξξ−
+
b
a
n
k
n
k
kkkk
k
k
fLfdxfLdxxf
1
0
1
0
11
1
);,();,()(
∑
∫
−
=
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+ξ−+ξ=
1
0
1
0
)]([)(
n
k
kk
hufLduhufh
∑
∫
−
=
+
−
=+ξ=
1
0
1
0
)(1
.,)()(
n
k
k
r
r
r
n
ab
hduhufuFh (13)
Если функция f принадлежит классу ),;(
)(
baMW
r
, то
∑
∫∫
∑
−
=
+
+
−
=
+
−
=≤ξξ−
1
0
1
1
0
1
1
0
1
,
)(
)();,(
n
r
r
r
r
r
r
b
a
n
k
kk
n
Mcab
dttFMhfLfdx (14)
что доказывает неравенство (12).
Остается показать возможность построения функции
),;(
)(
baMWf
r
∈
∗
, для которой неравенство (12) обращается в равен-
ство. Пусть )(xf
k
есть некоторая функция, определенная на отрезке
[]
1
,
+
ξξ
kk
, имеющая кусочно-непрерывную производную порядка r и
удовлетворяющая условию
)(sign)(
)(
uFMhuf
rk
r
k
=+ξ , (15)
10
<
< u , k = 0, 1, …, n–1.
Положим, )(
0
xff =
∗
на отрезке
[
]
10
,
ξ
ξ
. Если функция )(xf
∗
уже определена на отрезке
[
]
k
ξ
ξ
,
0
и имеет на его конце
k
ξ
произ-
водные, равные
,)(,...,)(,)(
1
)1(
0 −
−∗∗
′
∗
α=ξα=ξα=ξ
rk
r
kk
fff
то положим,
)()()(
,1
xPxfxf
krk −
∗
+= (16)
на отрезке
[]
1
,
+
ξξ
kk
, где
)(
,1
xP
kr−
есть многочлен степени 1−
r
, по-
добранный так, чтобы правая часть (16) в точке
k
ξ
имела производ-
          b              n −1                     n −1 ⎧ξ k +1                     ⎫⎪
                                                       ⎪
          ∫   f ( x)dx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) = ∑ ⎨ ∫ fdx − L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ⎬ =
          a              k =0                     k =0 ⎪
                                                       ⎩ ξk                         ⎪⎭
                           n −1 ⎧ 1                                ⎫⎪
                                ⎪
                        = h∑ ⎨∫ f (ξ k + hu )du − L[ f (ξ k + hu )]⎬ =
                           k =0 ⎪
                                ⎩0                                  ⎪⎭
                               n −1 1
                                                                               b−a
                        = h r +1 ∑ ∫ Fr (u ) f ( r ) (ξ k + hu )du , h =           .            (13)
                               k =0 0                                           n

   Если функция f принадлежит классу W ( r ) ( M ; a, b) , то


                                                                            (b − a ) r +1 cr M
     b           n −1                                n −1   1

     ∫   fdx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤ h     r +1
                                                     ∑ M ∫ Fr (t ) dt =                        , (14)
     a           k =0                                r =0   0                     nr
что доказывает неравенство (12).
    Остается          показать   возможность   построения    функции
  ∗          (r )
 f ∈W ( M ; a, b) , для которой неравенство (12) обращается в равен-
ство. Пусть f k (x) есть некоторая функция, определенная на отрезке
[ξ k , ξ k +1 ] , имеющая кусочно-непрерывную производную порядка r и
удовлетворяющая условию
                                  f k( r ) (ξ k + hu ) = MsignFr (u ) ,                         (15)
                                 0 < u < 1 , k = 0, 1, …, n–1.
   Положим, f = f 0 ( x) на отрезке [ξ 0 , ξ1 ] . Если функция f ∗ (x)
                         ∗


уже определена на отрезке [ξ 0 , ξ k ] и имеет на его конце ξ k произ-
водные, равные
                   f ∗ (ξ k ) = α 0 , f ∗′ (ξ k ) = α ,..., f ∗( r −1) (ξ k ) = α r −1 ,
то положим,
                                   f ∗ ( x) = f k ( x) + Pr −1,k ( x)                           (16)
на отрезке        [ξ k , ξ k +1 ] , где   Pr−1,k ( x) есть многочлен степени r − 1 , по-
добранный так, чтобы правая часть (16) в точке ξ k имела производ-


                                                     19

Страницы