Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
ные до 1
−
r
-го порядка включительно, равные соответственно чис-
лам
110
...,,,
−
ααα
r
.
Функция )(xf
∗
полностью определена на отрезке
[
]
ba,
. Она, оче-
видно, принадлежит к классу ).,;(
)(
baMW
r
Подставим ее в (13) и
примем во внимание, что
.0)(
,1
≡
−
xP
dx
d
xr
r
r
Тогда на основании (15) получим
,
)(
)(
)(sign)();,(
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
r
r
r
r
r
n
k
n
r
rr
r
kk
b
a
n
Mcab
duuFnMh
duuFMuFhfLdxf
+
+
−
=
−
=
+∗
+
∗
−
==
==ξξ−
∫
∑∑
∫∫
и теорема доказана.
Теорема 2. Если квадратурная формула (4) точна для всех посто-
янных (многочленов нулевой степени), то для всякой функции )(xf ,
принадлежащей классу
),( baH
ω
, имеет место неравенство:
≤ξξ−
∫
∑
−
=
+
b
a
n
k
kk
fLfdx
1
0
1
);,( )()(1
1
0
n
ab
abp
m
k
k
−
ω−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
∑
−
=
.
Доказательство.
Допустим, что функция f принадлежит классу
)1,0(
ω
H и пусть
).()0()( xfxf
ϕ
+
=
Тогда
).1()()()( ω≤−=ϕ xfxfx
В силу того, что квадратурная формула (4) точна для постоянных,
имеем
).1)(1)()()(
1
0
1
0
1
0
1
0
∑
∫
∑
∫
−
=
−
=
+ω≤ϕ−ϕ=−
m
k
k
m
k
kk
pxpdxflfdx 
ные до r − 1 -го порядка включительно, равные соответственно чис-
лам α 0 , α1 , ..., α r −1 .
   Функция f ∗ (x) полностью определена на отрезке [a, b] . Она, оче-
видно, принадлежит к классу W ( r ) ( M ; a, b). Подставим ее в (13) и
примем во внимание, что
                           dr
                               Pr −1, x ( x) ≡ 0.
                          dx r
   Тогда на основании (15) получим
        b              n −1                          n −1 1

        ∫   f ∗ dx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ∗ ) = h r +1 ∑ ∫ Fr (u ) MsignFr (u )du =
        a             k =0                           r =0 0

                                                    (b − a) r +1 cr M
                                 1
                       = Mh r +1n ∫ Fr (u ) du =                      ,
                                 0                        nr
и теорема доказана.
   Теорема 2. Если квадратурная формула (4) точна для всех посто-
янных (многочленов нулевой степени), то для всякой функции f (x) ,
принадлежащей классу H ω (a, b) , имеет место неравенство:
            b         n −1
                                                ⎛ m−1      ⎞           b−a
            ∫   fdx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤ ⎜⎜1 + ∑ pk ⎟⎟(b − a )ω(     ).
            a         k =0                      ⎝ k =0     ⎠            n
   Доказательство. Допустим, что функция f принадлежит классу
H ω (0,1) и пусть
                                     f ( x) = f (0) + ϕ( x).
   Тогда
                              ϕ( x) = f ( x) − f ( x) ≤ ω(1).
  В силу того, что квадратурная формула (4) точна для постоянных,
имеем
                1                    1       m −1                         m −1

                ∫   fdx − l ( f ) = ∫ ϕdx − ∑ pk ϕ( xk ) ≤ ω)(1)(1 + ∑ pk ).
                0                    0       k =0                         k =0




                                              20

Страницы