Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

22
= h
r+1
|
∑
∫
−
=
1
0
1
0
n
K
F
r
(n) [f
(r)
(ξ
k
+ hn) – f
(r)
(ξ
k
)] dn | ≤
≤ h
r+1
∑
∫
−
=
1
0
1
0
n
K
|F
r
(n)| ω(h) dn = (b – a)
r+1
c
r
r
n
n
ab
)(
−
ϖ
,
и теорема доказана.
7. Оценки для индивидуальных функций. Вы-
бор квадратурной формулы
В разд. 6 была доказана теорема 1 о том, что если функция f при-
надлежит классу ),;(
)(
baW
r
μ , то можно применить усложненную
квадратурную формулу
∑
∫
−
=
−
ξξ≈
1
0
1
);,(
n
K
kk
b
a
fLdxf , (1)
точную для многочленов степени (r–1), порядок приближения с по-
мощью этой формулы равен О(n
–r
). Этот результат дает оценку при-
ближения сверху для всего класса функций ),;(
)(
baW
r
μ . В этом па-
раграфе будет показано, что какова бы ни была функция f класса
),;(
)(
baW
r
μ , если она не многочлен степени (r–1), то порядок при-
ближения, даваемого квадратурной формулой (1), строго равен О(
–r
).
Докажем теорему.
Теорема 4. Пусть функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерыв-
ную производную f
(r)
(x) порядка r; k
n
ab
a
k
−
+=ξ (k = 0, 1, …, n–1);
l – натуральное число, удовлетворяющее неравенствам nl ≤<0 ;
ω(k) – модуль непрерывности функции f
(r)
на отрезке [a, b]. Пусть
квадратурная формула (1) является точной для многочленов степени
(r–1) и χ – константа, определяемая равенством
∫
=χ
1
0
.)( dttF
r
                          n −1 1
             = hr+1| ∑ ∫ Fr(n) [f (r)(ξk + hn) – f (r)(ξk)] dn | ≤
                      K =0 0

                                                                            b−a
                 n −1 1                                                ϖ(       )
           ≤ hr+1 ∑ ∫ |Fr(n)| ω(h) dn = (b – a)r+1 cr                        n    ,
                 K =0 0                                                     nr
и теорема доказана.

 7. Оценки для индивидуальных функций. Вы-
         бор квадратурной формулы
   В разд. 6 была доказана теорема 1 о том, что если функция f при-
надлежит классу W ( r ) (μ; a, b) , то можно применить усложненную
квадратурную формулу
                             b            n −1

                             ∫   f dx ≈   ∑ L ( ξ k −1 , ξ k ; f ) ,                  (1)
                             a            K =0

точную для многочленов степени (r–1), порядок приближения с по-
мощью этой формулы равен О(n–r). Этот результат дает оценку при-
ближения сверху для всего класса функций W ( r ) (μ; a, b) . В этом па-
раграфе будет показано, что какова бы ни была функция f класса
W ( r ) (μ; a, b) , если она не многочлен степени (r–1), то порядок при-
ближения, даваемого квадратурной формулой (1), строго равен О( –r).
Докажем теорему.
   Теорема 4. Пусть функция f(x) имеет на отрезке [a, b] непрерыв-
                                                b−a
ную производную f (r)(x) порядка r; ξ k = a +        k (k = 0, 1, …, n–1);
                                                 n
l – натуральное число, удовлетворяющее неравенствам 0 < l ≤ n ;
ω(k) – модуль непрерывности функции f (r) на отрезке [a, b]. Пусть
квадратурная формула (1) является точной для многочленов степени
(r–1) и χ – константа, определяемая равенством
                                             1
                                     χ = ∫ Fr (t ) dt.
                                             0




                                                 22

Страницы