Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

23
Тогда имеет место следующее асимптотическое равенство
∫
∑
∫
ξ
−
=
ξ
+
ω+
−
=ξξ−
l l
a
l
K
a
rr
kk
hOdxxfx
n
ab
fLdxf
1
0
)(
1
})]([)({)();,(,
n
ab
h
−
= , (3)
где константу с, входящую в оценку )()]([ hchO
ω
≤
ϖ
, можно взять не
зависящей от l и модуля непрерывности ω функции f
(r)
(x).
Доказательство.
Подобно формуле (13) из разд. 6 имеем
=ξξ−=ξξ−
∫
∑∑
∫
ξ
−
=
−
=
ξ
ξ
++
+LK
K
a
l
K
l
K
KKKK
fLfdxfLdxxf
1
0
1
0
11
1
});,({);,()(
∑
∫
−
=
=+ξ−+ξ=
1
0
1
0
})]([)({
l
K
KK
hnfLdnhnfh
∑
∫
−
=
+
−
=σ+σ=+ξ=
1
0
1
0
21
)(1
,),()()(
l
K
r
K
r
r
r
n
ba
hhdnhnfnFh (4)
где
∑
∫
∑
−
=
−
=
ξχ=ξ=σ
1
0
1
0
1
0
)()(
1
)()()(
l
K
l
K
K
r
K
r
r
fhdnfnFh , (5)
∑
∫
−
=
ξ−+ξ=σ
1
0
1
0
)()(
2
)]()([)(
l
K
K
r
K
r
r
dnfhnfnFh .
Но
≤ξ−≤ξ−
∫
∑∑
∫
+
ξ
ξ
−
=
−
=
ξ
1
)()()(
)()(
1
0
1
0
)(
0
)(
K
K
L
dxfxffhdxf
K
rr
l
K
l
K
K
rr
)()()(
)(
)(
1
0
habh
n
abl
hh
l
K
ω−≤ω
−
≤ω≤
∑
−
=
, (6)
поэтому
)]([)(
0
)(
1
hOdxxf
l
r
ω+χ=σ
∫
ξ
. (7) 
  Тогда имеет место следующее асимптотическое равенство
       ξl             l −1                                                      ξ
                                              b − a r l (r )
       ∫    f dx − ∑ L(ξ k , ξ k +1 ; f ) = (      ) {x ∫ f ( x) dx + O [ω( h)]} ,
       a           K =0                         n       a

                                b−a
                                    ,                   h=      (3)
                                 n
где константу с, входящую в оценку O[ϖ(h)] ≤ cω(h) , можно взять не
зависящей от l и модуля непрерывности ω функции f (r)(x).
   Доказательство. Подобно формуле (13) из разд. 6 имеем
       ξL                      l −1                             l −1     ξ K +1

       ∫    f ( x)dx −       ∑ L(ξ K , ξ K +1 ; f ) =          ∑{            ∫ fdx − L(ξ K , ξ K +1 ; f ) } =
       a                     K =0                              K =0        ξK

                                 l −1        1
                       = h ∑{ ∫ f (ξ K + hn)dn − L[ f (ξ K + hn)]} =
                                K =0 0

                      l −1 1
                                                                                                        a−b
            = h r +1 ∑ ∫ Fr ( n) f ( r ) (ξ K + hn)dn = h r (σ1 + σ 2 ), h =                                ,        (4)
                     K =0 0                                                                              n
                                      l −1 1                                        l −1
где                  σ1 = h ∑ ∫ Fr (n) f ( r ) (ξ K ) dn = hχ ∑ f ( r ) (ξ K ) ,                                     (5)
                                    K =0 0                                          K =0

                                      l −1 1
                    σ 2 = h ∑ ∫ Fr (n) [ f ( r ) (ξ K + hn) − f ( r ) (ξ K )]dn .
                                    K =0 0

            ξL                        l −1                    l −1     ξ K +1
  Но        ∫    f ( r ) dx − h ∑ f ( r ) (ξ K ) ≤           ∑ ∫                f ( r ) ( x) − f ( r ) (ξ K ) dx ≤
            0                       K =0                     K =0       ξK

                             l −1
                                                      l (b − a )
                       ≤     ∑ h ω(h) ≤                   n
                                                                 ω(h) ≤ (b − a ) ω(h) ,                              (6)
                             K =0

поэтому
                                                 ξl
                                      σ1 = χ ∫ f ( r ) ( x)dx + O [ ω(h)] .                                          (7)
                                                 0




                                                             23

Страницы