Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

24
При этом в качестве постоянной, входящей в оценку О[ω(h)],
можно взять число |χ|(b–a), т. е. величину, не зависящую от l и f
(r)
.
Оценим σ
2
:
=ω−≤ω≤σ
∫∫
∑
−
=
1
0
1
0
1
0
2
)()()()()( hdnnFabdnhnFh
rr
l
r
.)]([)()( hOhcab
r
ω
=
ω
−
= (8)
Таким образом, формула (3) доказана формулами (4)–(8), причем
постоянная, входящая в величину О[ω(h)], не зависит от l и f
(r)
. Про-
анализируем формулу (3). В ее правую часть входит постоянная χ,
определяемая равенством (2). Если рассматриваемая квадратурная
формула точна для многочленов степени (r–1), неточна для много-
членов степени r, то она и неточна для функции x
r
. Поэтому на ос-
новании формулы (7) получим
{}
.0)(
!
1
)(
!
1
)(
1
0
1
0
1
0
≠−===χ
∫∫∫
rr
r
rr
rr
tLdtt
r
dt
dt
td
tF
r
dttF
Но тогда интеграл
∫
=Φ
x
a
r
dttfx )()(
)(
не равен тождественно нулю на отрезке
[
]
ba,
. Пусть
0
x
есть точка
отрезка
[]
ba, такая, что 0)(
0
≠
Φ
x , и пусть
l
есть такое натуральное
число, для которого выполняется неравенство
10 +
ξ
<
≤
ξ
ll
x .
Таким образом,
l есть функция от n . При этом
0
lim x
i
n
=
ξ
∞→
.
Вернемся к рассмотрению интеграла
),()()()()(
0
0
)(
0
)(
hOxdxxfxdxxf
x
r
a
r
l
l
+Φ=−Φ=
∫∫
ξ
ξ
(10)
и так как
,)(
0
)(
0
MhxMdxxf
l
x
r
l
≤ξ−≤
∫
ξ
где
)(max
)(
xfM
r
bxa
≤≤
= , интеграл ограничен. 
  При этом в качестве постоянной, входящей в оценку О[ω(h)],
можно взять число |χ|(b–a), т. е. величину, не зависящую от l и f(r).
Оценим σ2:
                      l −1   1                                              1
        σ2 ≤ h ∑             ∫   Fr (n) ω(h)dn ≤ (b − a) ∫ Fr (n) dn ω( h) =
                      r =0   0                                              0

                      = (b − a ) cr ω(h) = O[ω(h)] .              (8)
   Таким образом, формула (3) доказана формулами (4)–(8), причем
постоянная, входящая в величину О[ω(h)], не зависит от l и f(r). Про-
анализируем формулу (3). В ее правую часть входит постоянная χ,
определяемая равенством (2). Если рассматриваемая квадратурная
формула точна для многочленов степени (r–1), неточна для много-
членов степени r, то она и неточна для функции x r. Поэтому на ос-
новании формулы (7) получим
              1                       1                                     1
                                  1            d rt r     1
        χ = ∫ Fr (t )dt =            ∫ Fr (t )     r
                                                      dt = {                ∫   t r dt − L(t r ) } ≠ 0.
              0
                                  r! 0         dt         r!                0
   Но тогда интеграл
                                                          x
                                             Φ ( x) = ∫ f ( r ) (t )dt
                                                          a

не равен тождественно нулю на отрезке [a, b] . Пусть x0 есть точка
отрезка [a, b] такая, что Φ ( x0 ) ≠ 0 , и пусть l есть такое натуральное
число, для которого выполняется неравенство
                               ξ l ≤ x0 < ξ l +1 .
   Таким образом, l есть функция от n . При этом lim ξ i = x0 .
                                                                                        n →∞

   Вернемся к рассмотрению интеграла
              ξl                                     x0

              ∫     f ( r ) ( x)dx = Φ ( x0 ) −      ∫f
                                                              (r )
                                                                     ( x)dx = Φ ( x0 ) + O(h),            (10)
              a                                      ξl

                                 x0

                                 ∫f
                                      (r )
и так как                                    ( x)dx ≤ M x0 − ξ l ≤ Mh,
                                 ξl

где M = max f ( r ) ( x) , интеграл ограничен.
         a ≤ x ≤b




                                                          24

Страницы