Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

26
Теорема 6. Если квадратурная формула (1) точна для всех много-
членов степени 1−
r
, то для любой функции f, принадлежащей
классу ),;(
)(
baМW
r
, имеет место неравенство:
r
r
r
n
k
k
n
Mcab
fLfdx
k
k
k
1
1
0
)(
);,(
1
1
+
−
=
ξ
ξ
−
≤ξξ−
∑
∫
+
+
. (13)
Соответствующим аналогом теоремы 5 является следующая тео-
рема.
Теорема 7. Если функция f имеет непрерывную, не равную то-
ждественно нулю производную )(
)(
xf
r
порядка
r
и квадратурная
формула (1) точна для многочленов степени
1
−
r
, но не точна для
многочленов степени
r
, то существует положительная постоян-
ная
c такая, что имеет место неравенство
2
1
1
0
1
);,(
n
c
fLfdx
k
k
kk
n
k
>ξξ−
∫
∑
+
ξ
ξ
+
−
=
для всех ...,2,1=n.
Таким образом, доказано, что для всех функций, имеющих непре-
рывную на
[]
ba, производную порядка
r
, исключая многочлен
1−r
P
степени 1
−
r
, приближение с помощью квадратурной формулы (1)
имеет порядок, строго равный )(
r
nO
−
. Следовательно, если функция
)(
xf имеет производную более высокого порядка чем
r
, при при-
менении ее для вычисления определенного интеграла квадратурной
формулы (1), точной только для многочленов
1−r
P , мы заведомо не
сможем получить лучший эффект в смысле порядка приближения по
сравнению с тем, который имеет место для функций, обладающих
разрывной производной
r
-го порядка. Например, как бы ни была хо-
роша функция, если только она не многочлен третьей степени, поря-
док приближения ее интеграла с помощью усложненной формулы
Симпсона заведомо не может быть лучше, чем )(
4−
nO .
Если функция )(
xf имеет на отрезке
[
]
ba, пятую производную,
то для того, чтобы это дифференциальное свойство функции могло 
   Теорема 6. Если квадратурная формула (1) точна для всех много-
членов степени r − 1 , то для любой функции f , принадлежащей
классу W ( r ) ( М ; a, b) , имеет место неравенство:
                   n −1 ξ k +1
                                                                (b − a ) r +1 cr M
                  ∑ ∫            fdx − L(ξ k , ξ k +1 ; f ) ≤
                                                                      nr
                                                                                   .   (13)
                  k =0   ξk

   Соответствующим аналогом теоремы 5 является следующая тео-
рема.
   Теорема 7. Если функция f имеет непрерывную, не равную то-
ждественно нулю производную f ( r ) ( x) порядка r и квадратурная
формула (1) точна для многочленов степени r − 1 , но не точна для
многочленов степени r , то существует положительная постоян-
ная c такая, что имеет место неравенство
                              n−1     ξ k +1
                                                                         c
                              ∑ ∫ fdx − L(ξ k , ξ k +1; f ) > n 2
                              k =0     ξk

для всех n = 1, 2, ... .
     Таким образом, доказано, что для всех функций, имеющих непре-
рывную на [a, b] производную порядка r , исключая многочлен Pr −1
степени r − 1 , приближение с помощью квадратурной формулы (1)
имеет порядок, строго равный O( n − r ) . Следовательно, если функция
 f ( x) имеет производную более высокого порядка чем r , при при-
менении ее для вычисления определенного интеграла квадратурной
формулы (1), точной только для многочленов Pr −1 , мы заведомо не
сможем получить лучший эффект в смысле порядка приближения по
сравнению с тем, который имеет место для функций, обладающих
разрывной производной r-го порядка. Например, как бы ни была хо-
роша функция, если только она не многочлен третьей степени, поря-
док приближения ее интеграла с помощью усложненной формулы
Симпсона заведомо не может быть лучше, чем O(n −4 ) .
   Если функция f ( x) имеет на отрезке [a, b] пятую производную,
то для того, чтобы это дифференциальное свойство функции могло


                                                    26

Страницы