Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

28
и покажем, что квадратурная формула
∑
∫
−
=
−−
+
Δ−Δχ+ξξ≈
1
0
1
0
1
1
)();,()(
n
k
rr
nkk
b
a
ffhfLdxxf ,
n
ab
h
−
= , (2)
дает для всех функций )(
xf , имеющих непрерывную производную
порядка 1
+
r
, приближение порядка )(
1−−r
nO .
Заметим, что
∑∑
−
=
−−
−
=
−−
+
Δ−Δ=Δ−Δ=Δ
1
0
1
0
1
1
0
11
1
)(
n
k
rr
n
n
k
r
k
r
k
r
k
fffff
.
По теореме о среднем имеет место равенство
)(
)(
kk
r
r
r
k
rhf
h
f
θ+ξ=
Δ
, где
10
<
θ
<
k
.
Поэтому в силу равенства (13) из разд. 6 имеем
=Δ−Δχ−ξξ−
∫
∑
−
=
−−
+
b
a
n
k
rr
nkk
fhfLdxxf
1
0
1
0
1
1
)();,()(
≥
Δ
−+ξ=
∑
∫
∑
∫
−
=
−
=
+
+
1
0
1
0
1
0
1)(
1
)()()(
n
k
n
k
r
r
h
r
r
k
r
r
r
du
h
f
uFhduhufuFh
≤θ+ξ−+ξ≥
∑
∫
−
=
+
durhfhufuFh
n
k
kk
r
k
r
r
r
1
0
)()(
1
0
1
)()()(
)()(
11
11
1 −−+
++
+
=−=≤
rr
rrrr
r
nOhcabrKKrhnch ,
где
∫
=
1
0
,)( dttFc
rr
)(max
)1(
1
xfK
r
cxa
r
+
≤≤
+
= .
Утверждение доказано.
С помощью формулы (2) можно уточнить результат формулы (1). 
и покажем, что квадратурная формула
          b                      n −1
                                                                                                 b−a
          ∫ f ( x)dx ≈ ∑
                                                                   r −1
                            L(ξ k , ξ k +1 ; f ) + hχ( Δ n                f − Δr0−1 f ) , h =        ,    (2)
          a            k =0                                                                       n
дает для всех функций f ( x) , имеющих непрерывную производную
порядка r + 1 , приближение порядка O(n −r −1 ) .
    Заметим, что
                     n −1               n −1
                     ∑ Δrk f = ∑ (Δrk−+11 f             − Δrk−1 f ) = Δrn−1 f − Δr0−1 f .
                     k =0               k =0

    По теореме о среднем имеет место равенство
                Δrk f
                   r
                      = f ( r ) (ξ k + rhθ k ) , где 0 < θ k < 1 .
                 h
    Поэтому в силу равенства (13) из разд. 6 имеем
                     b                    n −1

                     ∫ f ( x)dx − ∑
                                                                              r −1
                                       L(ξ k , ξ k +1 ; f ) − hχ(Δ n                  f − Δr0−1 ) =
                     a            k =0

                   r +1
                                                                             n −1 1
                          n −1
                                                                                             Δrh f
              =h          ∑ ∫ Fr (u ) f ( r ) (ξ k + hu )du − h r +1 ∑ ∫ Fr (u )              hr
                                                                                                   du ≥
                          k =0                                               k =0 0

                              n −1 1
                  ≥h   r +1
                              ∑ ∫ Fr (u )        f ( r ) (ξ k + hu ) − f ( r ) (ξ k + rhθ k ) du ≤
                              k =0 0

                     ≤ h r +1rhncr K r +1 = K r +1r (b − a)cr h r +1 = O( n − r −1 ) ,
              1
где cr = ∫ Fr (t ) dt , K r +1 = max f ( r +1) ( x) .
                                           a ≤ x ≤c
              0

    Утверждение доказано.
    С помощью формулы (2) можно уточнить результат формулы (1).




                                                         28

Страницы