Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 29 стр.

               9. Оценки для многомерных
                  квадратурных формул
  При приближенном вычислении кратных интегралов
                                    bd

                                    ∫ ∫ f ( x, y)dxdy
                                     ac

часто применяют квадратурные формулы, которые можно получить
из одномерных квадратурных формул
                        1                                    1

                        ∫ f ( x)dx ≈ L( f ), ∫ fdy ≈ L1 ( f ),                       (1)
                        0                                    0

где
                         m −1
              L( f ) = ∑ pk f ( xk ), 0 ≤ x0 < x1 < ... < xm−1 ≤ 1,
                         k =0
                        m1 −1
           L1 ( f ) =   ∑ р′k f ( yk ),           0 ≤ y0 < y1 < ... < y m1 −1 ≤ 1.
                        k =0

  При этом будем предполагать, что
                                    m −1             m1 −1

                                    ∑ pk = ∑                     pk′ = 1.            (2)
                                     k =0            k =0

     Если в квадрате 0 ≤ x , y ≤ 1 задана непрерывная функция
 f ( x, y ) , то мы можем для приближенного вычисления ее кратного
интеграла применить следующую квадратурную формулу:
         11                      m −1 m1 −1

         ∫∫   f ( x, y )dxdy ≈ ∑ ∑ pk pl f ( xk , yl ) = L(0,1,0,1; f ) .            (3)
         00                      k =0 l = 0

  Пусть имеем два класса непрерывных функций ϕ = ϕ( x) , задан-
ных на отрезке [0,1] : Μ ′ и Μ ′′ .
  Обозначим через с′ верхнюю грань погрешности:
                                              1
                                с′ = sup ∫ ϕdx − L(ϕ) ,
                                     ϕ∈Μ′ 0




                                                  29