Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 31 стр.

                           bd

                           ∫ ∫ f ( x, y)dxdy ≈ L(a, b; c, d ) =
                           ac
                                m −1 m1 −1
           = (b − a )(d − c) ∑ ∑ pk p′f ( a + (b − a ) xk , c + (d − c) yl ).
                                  k =0 l = 0

   Данный прямоугольник можно разбить на μν равных прямо-
угольников:
     δ ij (ξ i ≤ x ≤ ξ i +1 , η j ≤ y ≤ η j +1 ) (i = 0,1,..., μ − 1; j = 0, 1, ..., ν − 1) .
    Точки ξi и η j делят соответственно отрезки [a, b] и [c, d ] на рав-
ные части, а затем к каждому прямоугольнику применим кубатурную
формулу. Получим кубатурную формулу
                             bd                         μ −1 ν −1

                             ∫∫    f ( x, y )dxdy ≈ ∑∑ Lij ( f ),
                             ac                         i =0 j =0

где
                                       m−1 m1 −1
Lij ( f ) = (ξi+1 − ξ1 )(ηk +1 − ηk )∑∑ pk pl′ f (ξi + (ξi+1 − ξi ) xk , η j + (η j +1 − η j ) yl ).
                                       k =0 l =0

   Сформулируем и докажем несколько теорем, дающих оценки
приближения кубатурных формул.
   Теорема 1. Пусть функция f ( x, y ) имеет частные производные
по x порядка r и по y порядка s , удовлетворяющие на прямо-
угольнике a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d неравенствам

                                        ∂r f       ∂3 f
                                             ≤ M ,      ≤ N.
                                        ∂x r       ∂y 3
   Пусть квадратурные формулы (1) точны для многочленов степени
r − 1 и s − 1 . Тогда
  bd           λ−1 ν−1                          ⎡       ⎛b−a⎞
                                                              r       m
                                                                            ⎛ d −c⎞ ⎤
                                                                                    s

  ∫∫ fdxdy − ∑∑ ij     L ( f ) ≤ (b − a)(d − c) ⎢
                                                ⎢⎣
                                                  c r M ⎜   ⎟
                                                        ⎜ μ ⎟   + Ncr∑ m  p ⎜     ⎟
                                                                            ⎝ ν ⎠ ⎥⎦
                                                                                      ⎥,
  ac         i =0 j =0                                  ⎝   ⎠        k =0


где cr и cs – постоянные, определяемые по формуле (3) из разд. 5
соответственно для L( f ) и L1 ( f ) .


                                                   31