Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
,))((
1
0
1
0
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
−
−−=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+μν≤
∑
∑
−
=
−
=
s
m
k
kr
r
r
m
k
k
s
s
r
r
cd
Npc
ab
Mccdab
pNgcMhchg
теорема доказана.
Теорема 2. Пусть функция ),( yxf удовлетворяет на прямоуголь-
нике
bxa ≤≤ , dyc ≤≤ условиям
),(),(),(
),(),(),(
2
1
yyyxfyxf
xxyxfyxf
−
′
ω≤−
′
−
′
ω≤−
′
(12)
где
21
, ωω – функции, для которых выполняются неравенства (2) из
разд. 2, и, кроме того, квадратурные формулы (1) точны для произ-
вольных констант. Тогда имеет место неравенство
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ν
−
ω+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
μ
−
ω≤−
∫∫
∑∑
−μ
=
−ν
=
cd
B
ab
AfLfdxdy
b
a
d
c
ij
ij 21
1
0
1
0
)(, (13)
где
A и
B
– постоянные.
Доказательство. Из неравенств (12) следует, что функция
),( ν+η
′
+ξ guhf
ji
от u и
ν
на прямоугольнике u
≤
0 , 1
≤
ν
удов-
летворяет неравенствам
),()(),(),(
,11
uuuuhghufguhf
hJiji
−
′
ω=−
′
ω≤ν+η+ξ−ν+η
′
+ξ
)()(),(),(
,22
ν−ν
′
ω=ν−ν
′
ω≤ν+η+ξ−ν
′
+η+ξ
gjiji
gghufghuf .
Таким образом, эта функция по переменной
u
принадлежит клас-
су
)1,0(
,1 h
Hω
при любом фиксированном
ν
и по переменной ν при-
надлежит классу )1,0(
,2 g
Hω при любом фиксированном u . Поэтому
в силу теоремы 2 из разд. 6 при 1,1,0
=
=
=
nba имеют место нера-
венства 
                              ⎛                 m −1
                                                        ⎞
                    ≤ μνhg ⎜⎜ cr Mh r + cs Ng s ∑ pk ⎟⎟ =
                              ⎝                 k =0    ⎠
                           ⎡      ⎛b−a⎞
                                           r       m −1
                                                          ⎛d −c⎞ ⎤
                                                                s
         = (b − a )(d − c) ⎢cr M ⎜⎜      ⎟⎟ + cr ∑ pk N ⎜      ⎟ ⎥,
                           ⎢⎣     ⎝ μ ⎠            k =0   ⎝ ν ⎠ ⎥⎦
теорема доказана.
   Теорема 2. Пусть функция f ( x, y ) удовлетворяет на прямоуголь-
нике a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d условиям
                          f ( x′, y ) − f ( x, y ) ≤ ω1 ( x′ − x ),
                                                                                       (12)
                          f ( x, y ′) − f ( x, y ) ≤ ω2 ( y ′ − y ),
где ω1 , ω2 – функции, для которых выполняются неравенства (2) из
разд. 2, и, кроме того, квадратурные формулы (1) точны для произ-
вольных констант. Тогда имеет место неравенство
           bd           μ −1 ν −1
                                            ⎛b−a⎞        ⎛d −c⎞
          ∫∫    fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) ≤ Aω1 ⎜⎜   ⎟⎟ + Bω2 ⎜    ⎟,                       (13)
           ac           i = 0 j =0          ⎝ μ ⎠        ⎝ ν ⎠

где A и B – постоянные.
    Доказательство. Из неравенств (12) следует, что функция
 f (ξ i + hu ′, η j + gν) от u и ν на прямоугольнике 0 ≤ u , ν ≤ 1 удов-
летворяет неравенствам
  f (ξ i + hu ′, η j + gν) − f (ξ i + hu , η J + gν) ≤ ω1 ( h u ′ − u ) = ω1,h ( u ′ − u ),

 f (ξ i + hu , η j + gν′) − f (ξ i + hu , η j + gν) ≤ ω2 ( g ν′ − ν ) = ω2, g ( ν′ − ν ) .
   Таким образом, эта функция по переменной u принадлежит клас-
су Hω1,h (0,1) при любом фиксированном ν и по переменной ν при-
надлежит классу Hω2, g (0,1) при любом фиксированном u . Поэтому
в силу теоремы 2 из разд. 6 при a = 0, b = 1, n = 1 имеют место нера-
венства




                                             33

Страницы