Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 35 стр.

                               bd                 μ −1 ν −1

                               ∫∫        fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) ≤
                               ac                 i =0 j =0

                 ⎡ ⎛ b − c ⎞r ⎛ b − a ⎞       m−1
                                                   ⎛d −c⎞
                                                          s
                                                             ⎛ d − c ⎞⎤
≤ (b − a)(d − c) ⎢cr ⎜⎜    ⎟⎟ ω1 ⎜⎜   ⎟⎟ + cr ∑ pk ⎜    ⎟ ω2 ⎜       ⎟⎥ . (15)
                 ⎢⎣ ⎝ μ ⎠ ⎝ μ ⎠               k =0 ⎝ ν ⎠     ⎝ ν ⎠⎥⎦
   Доказательство. Из условий, наложенных на функцию f ( x, y ) ,
следует, что функция f (ξi + hu, η j + gν) на квадрате 0 ≤ u , ν ≤ 1
принадлежит по переменной u при фиксированном ν классу
W ( r ) H hr ω ,h (a, b) , где ω1,h (u ) = ω1 ( hu ) , и по переменной ν при фик-
               1


сированном u классу W ( s ) H g sω , g (c, d ) . Таким образом, по теореме 3
                                              2

разд. 6, где надо считать a = 0, b = 1, n = 1 и заменить ω1 (x ) на
h r ω1 (hω) , будем иметь
           1

           ∫ f (ξi + hu, η j + gν)du − Lu (ξi + hu, η j + gβν ) ≤ cr h ω1 (h).
                                                                           r

           0
   Аналогично
       1

      ∫ f (ξi + hu, η j + gν)dν − Lν ( f (ξi + hu, η j + gν)) ≤ cs g ω2 ( g )
                                                                               s

       0
и, следовательно, из (9) на основании неравенства (7), полагая в нем
c′ = cr h r ω1 (h) , c′′ = cs g s ω2 ( g ) , получим
                               bd                 μ −1 ν −1

                               ∫∫        fdxdy − ∑∑ Lij ( f ) ≤
                               a c                i =0 j =0

     μ −1 ν −1 1 1
≤ hg ∑∑ ∫ ∫ f (ξi + hu, η j + gν)dudv − L(0,1,0,1; f (ξi + hu , η j + gν)) ≤
     i =0 j =0 0 0
                                                                    m −1
                     ≤ μνhg (cr h r ω1 (h) + cs g s ω2 ( g ) ∑ pk ) =
                                                                    k0

                   ⎡ ⎛b−a⎞ ⎛b−a⎞     r
                                                ⎛d −c⎞
                                                       s
                                                          ⎛ d − c ⎞⎤
                                                              m−1
 = (b − a )(d − c) ⎢cr ⎜⎜ ⎟⎟ ω1 ⎜⎜ ⎟⎟ + cs ∑ pk ⎜    ⎟ ω2 ⎜       ⎟⎥ .
                   ⎢⎣ ⎝ μ ⎠ ⎝ μ ⎠          k =0 ⎝ ν ⎠     ⎝ ν ⎠⎥⎦
   Теорема доказана.

                                                  35