Численное интегрирование. Добрынина Н.Ф. - 36 стр.

               10. Экстремальные задачи
   Многообразие различных квадратурных формул бесконечно. В
зависимости от требований, предъявляемых к методу приближенного
вычисления определенного интеграла, и от класса функций, к кото-
рым этот метод применяется, квадратурная формула имеет преиму-
щество перед другими формулами.
   Этот параграф посвящен решению одной экстремальной задачи,
приводящей к квадратурной формуле, дающей наилучшее прибли-
жение.
   В общем виде проблему можно сформулировать так.
   Задан класс функций H , определенных на отрезке [0,1] , и задано
натуральное число m . Среди всех квадратурных формул
                               1

                               ∫ fdx ≈ L( f ),                        (1)
                               0
                       m
где           L( f ) = ∑ pk f ( xk ) , 0 ≤ x1 < x2 < ... < xm ≤ 1 ,   (2)
                       k =1

требуется определить такую квадратурную формулу, чтобы величина
верхней грани
                                   1
                              sup ∫ fdx − L( f ) ,                    (3)
                              f ∈H 0

распространенной на все функции f класса H , была наименьшей.
Речь идет о выборе на отрезке [0,1] узлов x1 , x2 ,..., xm и весов
 p1 , p2 ,..., pm , при котором приближение, даваемое квадратурной
формулой для всего класса функций H , было бы наилучшим среди
всех возможных приближений. Решим эту проблему для класса
функций f , имеющую ограниченную на отрезке вторую производ-
ную. Можно получить различные квадратурные формулы, если узлы
и веса подчинены определенным условиям.




                                       36